铺路不如搭桥
北京市第十九中学 刘云霞
关于轴对称性质的应用，曾经安排过这样的一节课：
问题1：在玉树地震救灾中,A、B两村在公路l两侧，
欲在公路l上建一救灾物资输送站P，需将P建在何处
可使输送站到A、B两村的距离之和最小？
说明理由。
问题2：在玉树地震救灾中,A、B两村在公路l同侧，
欲在公路l上建一救灾物资输送站P，需将P建在何
处可使输送站到A、B两村的距离之和最小？说明理由
问题3、两条公路交叉成α角，在两条道路中间的A
点为抗震救灾指挥部，如果要在两条公路上各设置
一个赈灾物资配送站（C在公路m上，D在公路n上），
配送站C、D设置在何处，可使从指挥部出发，经过
一个配送站再到另一个配送站，最后回到指挥部所走
的路程最短。
问题4、两条公路交叉成α角，在两条道路中间的A点为抗震救灾指挥部，如果要在两条公路上各设置一个赈灾物资配送站（C在公路m上，D在公路n上），配送站C、D设置在何处，可使从指挥部出发，先到公路m上的配送站、再到公路n上的配送站，最后回到指挥部所走的路程最短。
本节课以同一背景——玉树地震救灾为主线，问题由易到难，层层深入，无论老师上课还是学生听课都会感觉很顺畅，每一个问题的解决都为后一个问题做好了铺垫，大有水到渠成的感觉，课后为自己的精心策划窃喜的时候，一丝担忧涌上心头：数学课堂教学，我们到底该给孩子们什么？一帆风顺解决问题固然可以使他们轻而易举获得成功，而这样的成功仅仅局限于解决这个问题，对学生思维能力的培养并没有多大功效。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出“学生的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。现实的、有意义的、富有挑战性的数学课程内容，有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流。”因此课后我也在反思是否还有更合理、更利于学生思维发展的教学设计，鉴于我所任教的班级学生素质较好，我对本节课的教学设计做了如下调整：
1、 先将问题3抛给学生，学生一定会感觉无从下手，两条线段的三个端点仅一个为已知点，要连续确定两个位置点的位置，难度着实不小，于是引导学生思考：既然C、D两点分别在两条线段上，不妨先假设点D在直线n上的位置已知，这样只需确定直线m上的点C1位置①；再假设点C在直线m上的位置已知，再按照上面的方法确定点D1的位置②；综合①、②两步解法，只需同时满足确定点C、D的方法，便可以得到确定点两个未知点C、D的方法③。由此不难发现，在步骤①中我们忽略了直线n的存在，在步骤②中又忽略了直线m的存在，而解决这两步方法相同，于是解决问题的关键转移到了步骤①的具体方法，只需在直线n上取一点擦掉直线n，将本题转化为已知D、B，求做直线m上一点C1，于是问题自然转化为问题2。
2、 如何用数学的方法解决问题2？把这条路抽象为一条直线，而把指挥部和配送站分别看作直线同侧的两个点，建立几何模型，（如图①）把实际问题转换成“在已知直线上找一点，使它到直线同侧的两点的距离之和最小”的数学问题。此时学生容易得出错误解法：连结AB，作AB的垂直平分线交直线l于P点引导学生思考根据线段的垂直平分线的性质定理有PA＝PB，此时PA＋PB是否最短（如图②）？此处可以用几何画板的度量及计算功能否定这种作法。当学生依然感觉困难时，可以为学生再搭一步桥——如何改变题目中点的位置，问题能够变得简单？在这样的引导下，根据“最短”两字学生不难联想到两点之间线段最短，于是又转化为问题1，而问题1的解决不费吹灰之力，从而为解决问题2提供了有力的支持。如图③，作A点关于直线l的对称点A′连结P A′,由轴对称的性质知PA＝PA′那么PA＋PB＝PA′＋PB，由两点之间线段最短可知 B、P、A′三点共线时PA′＋PB最短。当然本题也可以利用三角形三边关系来证明：
在直线l上另取一点P′，连结PA 、A P′、B P′、P′A′，（如图④）要证PA＋PB最小，由任意性，
只需证 ：PA＋PB＜A P′＋B P′，
由对称性可知：PA＝PA′, P′A＝P′A′
只需证：PA′＋PB＜P′A′＋B P′
只需证： A′B＜P′A′＋B P′
而△BA′P′中，有三角形两边之和大于第三边，问题得证。
3、鉴于问题2的解决方法，学生此时容易想到分别作出点A关于m、n的对称点A1、A2，点C在A1D的连线上，点D在A2C的连线上，与此可知C、D两点应分别为A1A2与两直线m、n的交点，故连结A1A2便可得点C、D。连结A1C、 A2D，由轴对称的性质可得：AC＝A1C，AD＝A2D，那么△ACD的周长＝A1C＋CD＋A2D，由两点之间线段最短可知当A1、C、D 、A2四点共线时A1C＋CD＋A2D最小。简单解题如下（如图⑤）：
（1）分别作出A点关于m、n的对称点A1、A2；
（2）连结A1A2分别交m 、n于C、D两点。
C、D两点即为所求。
用类似于问题2的方法，分别在OA、OB上另取一点C′、D′ （如图⑥）要证△ACD的周长最小，而AC＝A1C，AD＝A2D，AC′＝A1C′，AD′＝A2D′，只要证A1A2＜A1C′＋A2D′＋CD。由公理两点之间线段最短，问题得证。
4、问题4是对问题3的拓展提升，四条线段之和有最小值，其中AB长为定值，因此问题转化为三条线段和的最小值，解决问题的方法与问题3基本一致。与原教学设计相同，也放在最后的位置，是对求线段和最小问题的巩固。
到此为止，学生在实践探索中切身体会到数学转化思想在解决数学问题中的重要作用，化繁为简、化难为易、化折为直。比较两种教学设计，前者像老师为学生铺路，学生在铺好的道路上大踏步前进；后者像老师为学生搭桥，路是学生自己走的，老师只是在学生遇到困难时为学生提供一点帮助、搭建一座小桥。相比较而言，后者是学生自主建构学习过程，要求学生付出更多，但也会使学生收获更多。
数学课程改革致力于改变学生的学习方式，确立学生在学习中的主体地位，自主探究，自主发展，使学生成为知识的探究者，数学知识的发现者，问题的解决者，让人人学习有用的数学，体现数学的价值。学习的过程没有平坦的大道，为学生铺一条路，不如为学生搭一座桥，放手让学生自己去走，在探究思路、发现知识、解决问题的过程中做学习的主人。