数学课程教学中认知过程中的偏差或失误的研究

所谓“错误”，指认知过程中的偏差或失误。错误伴随课程教学过程的始终，只要有认识，就会有错误，错误中包含了认知个体大量的信息和已有的经验，客观地反映了个体的心理特点。错误可以分为两种：一是真实性错误，二是艺术性错误。真实性错误是由于教材编写者、教师、学生主观认识的偏差或失误而形成的错误。这种错误，其中可能包含合理、创造性的成份。艺术性错误是指教师或命题者为实现课程教学目标精心设计而形成的错误。这种错误，有利于激发学生认知兴趣，有利于考查学生的思维过程，体现课程教学过程中学生的主体性。在课程教学过程中，教材编写者、教师、学生根据自身已有的知识、经验和理解水平尝试解释和探索问题时，发生偏差或失误，并通过多边互动，在集体“识错”、“思错”和“纠错”过程中动态生成的课程资源，我们称之为“错误资源”。
一、“错误资源”的教育价值
    1、诱发错误，触发认知冲突，激发学生学习兴趣
    建构主义学习观认为，学生的学习实际上是与周围环境的相互作用过程中，通过同化和顺应逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身的认知结构得以发展的过程。在这一过程中，如果在新知识与原有的认知结构之间产生无法包容的矛盾，即存在认知冲突，将会引起学生认知结构上的不平衡，从而激起学生强烈的探索愿望和学习兴趣，促使他们自觉地解决认知冲突，促使他们的认知结构进行新的同化和顺应，以达到新的平衡。因此在课程教学中注意激发学生的认知冲突，有利于激发学生的认知需要，使学生的学习内驱力达到高峰。
 例：设、为非零向量，且（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2），求与的夹角θ。
 错解：由已知（+3）·（7-5）=0，
 ∴72+16·-152=0，                 ①
 又（-4）·（7-2）=0，                
 ∴72-30·+82=0，                  ②
 ①-②得
 2·=2，即2=，所以与的夹角θ=0°。
 剖析：误将实数的运算法则类比运用到了向量运算之中，由2·=2，并不能得出2=，而应将2·=2代入①得2=2，即||=||。从而cosθ=，所以与的夹角θ=60°。
 “错误”引发了学生对以上问题的主动、积极的思考，极大地调动了同学们的思维热情，学生在“欲罢不能”的浓浓的探究氛围中开始了对新内容的学习。因此教师可以在课堂上有意制造一点“错误”，给学生一些“包袱”，触发认知冲突，活跃学生思维。
 2、反思错误，优化思维过程，提高学生元认知水平
 建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。“元认知”就是指主体对于自身所从事的认知活动的自我意识、自我评价、自我调整。其涉及的对象不仅指具体的认知活动，而且包括整体性的认知结构和认知策略，这是思维活动的更高层次。利用学生错误资源，引发“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考。
 例：函数y=|tanx|的最小正周期是               。
 错解：因为函数y=tanx的最小正周期是π，所以函数y=|tanx|的最小正周期是。
 剖析：先前研究过函数y=|sinx|的周期性，由其图象可知它的最小正周期是y=sinx周期的一半，由此类比：认为y=|tanx|的周期就是y=tanx周期的一半。
 现作出函数y=|tanx|的图象，易见其最小正周期仍为π。
 这必将引起学生的反思，寻找错误在哪里？从而促使学生对思维过程进行自我评价，自我调整，通过反思意识到“错误”的根本原因。因此，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决又培养了学生的反思能力，促进了学生元认知的发展。
 3、评价错误，突出主体性，引导学生自主学习
 著名语文特级教师靳家彦曾说过这样一段话：“课程教学生3+2=5的老师是差老师，课程教学生3+2=？的老师是合格老师，而课程教学生3+2=6的老师才是优秀老师！”显然靳老师的话表达了这样的一种课程教学思想：“正确”可能是一种告诉、一种模仿，而“错误”绝对是一种经历、一种学习。
 例：设数列的前n项之和Sn=n2+n+b（b为常数），试判断是否为等差数列？
 解：因为an=Sn-Sn-1= (n2+n+b)-[(n-1)2+(n-1)+b]=2n
          an+1= 2(n+1)
     所以an+1- an=2（n+1）-2n=2
 故是等差数列。这一解法对吗？为什么？
 显然，评价题的艺术性“错误”可以促进学生的认知，它将激发学生的心理矛盾和问题意识，突出学生主体地位，推动学生主动建构和发展。
 4、巧用错误，培养发现意识，提高学生探究能力
 “发现问题比解决问题更宝贵”，因此，培养学生发现意识，让学生会自主探究学习，成为新课程的重要目标之一。利用学生学习中出现的错误，也是培养发现意识，提高探究能力的有效途径。
 如：设x＞0，y＞0且，求x+y的最小值。
 学生解答：∵x＞0，y＞0
 ∴
 ∴xy≥36
 ∴
 所以x+y的最小值为12
 针对这一典型错误，我将其呈现给学生，让学生自主探究。并问：“这个答案对吗？你是如何判断的？”在这一富有启发性的问题诱导下，学生积极主动的进行探索。
 大家逐步悟出：求最值时，两次运用基本不等式能同时取到等号的时机太少了。纠正的方法是最好用一次基本不等式。为此，有如下的两种解法：
 解法1：
         当且仅当即x=4，y=12时取到等号。
 解法2：由得由x＞0，y＞0得x ＞1成立
         则
         当且仅当即x=4，y=12时取到等号。
 由此可见，学生获得知识是要在不断的探索中进行的，在这个过程中，学生的思维方法是各不相同的，因此，出现偏差和错误是很正常的，关键是在于教师如何利用错误这一资源。本例中，从学生的现实学习中选取错例，充分挖掘错误中潜在的智力因素，创设一个自主探究的问题情境，引导学生从不同角度审视问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现了问题，解决了问题，深化了对知识的理解和掌握，培养了学生的发现意识。
 5、对比错误，鼓励求新求异，激活创新思维
 创新思维是指一个人在已有经验和一般思维的逻辑规律的基础上，用一种灵活、新颖的思维方式来解决问题、探索求知的思维活动。课程教学过程中学生不可能不出现错误，他们犯错的过程是一种尝试和创新的过程。利用学习错误，挖掘错误中蕴涵的创新因素，适时、适度地给予点拨和鼓励，能帮助学生突破眼前的思维障碍，进入创新求异的新境界，让学生体验思维的价值，享受思维的快乐。用哲学家罗素的话来说，学生的观点是一种“智慧的分歧”。作为教师，不能扼杀学生的错，允许将不同的观点表达出来，机智、灵活地引导学生从正反不同角度去修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性，这是深化认识，培养学生创造性思维的有效办法。
二、“错误资源”的有效课程教学策略
    1、宽容错误，重视错误
 从发展的角度来说，犯错误是学生特有的“权利”，可以说，学生是在错误中成长起来的。当然对待学生的错，我们不能坐视不理，越俎代庖，甚至横加指责。我们应树立“错误是一种资源”的理念，好好利用，让错误成为实现新课程目标的宝贵资源。
 2、显化错误，利用错误
 错误是在课程教学过程中动态生成的，作为珍贵的课程教学资源，是可遇不可求的，也是稍纵即逝的。教师要敏于捕捉学生认知过程中的错误，使它成为课程教学的新契机。学情即课程，专家指出：“真正的教育技巧和艺术就在于，一旦有必要，老师就能随时改变课时计划。”教师要及时呈现错误，引起学生有意注意，但不必急于用教师的思想去“同化”学生，而是站在学生的立场去顺应他们的认识，在交流中剖析错误思想的来龙去脉，寻找错误背后隐含的教育价值，引领学生从错中求知，从错中探究。
 3、总结错误，积累错误
 要说发现错误是学生第一次反思的结果，改正错误是学生的第二次反思，那么总结错误，整理错误以至深化拓展便是学生的第三反思。认知过程中的错误，通常不能一次得以解决。因此，要指导学生收集错误，归类整理，形成资源，也就是让学生建立“错题集”。这既是学生积累学习经验和学习资料的宝库，又是教师改进课程教学，探索规律，研究学生的重要依据，更是提高课程教学质量的有效措施。在错题的旁边注上完整的分析过程，主要有四个部分：①为什么错了？——分析原因；②应该怎样做？——标明解题的正确方法及依据原理；③有无其它方法？哪种方法更好？——对比归纳，思维求异；④能否变通一下？——一题多变，思维发散。“学而时习之，不亦说乎？”，经常翻看错题集，不仅能让学生明确错误产生的原因，以后不再犯同样的错误，也可以帮助学生从对错误的多次反思中，提高自己对错误的判别能力，尽可能做到少错，甚至不错。