丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念.传统教学中,课外过多的作业和形式单一的练习占了学生大部分的时间,使学生感到厌烦,失去学习数学的兴趣.让课余时间成为数学学习方式的试验田,让师生共同探求更多的学习方式,使我们的教与学更加丰富充实.本人结合教学实践,在学生的作业中改变创设了一个开放性的问题情境,让学生围绕这个数学问题,自主探索,合作交流.初步尝试数学研究的过程,体验创造的激情.
一、情境营造
引例:如图过抛物线焦点的一条直线与它交于
两点,经过点和抛物线顶点的直线与准线交
于点.求证:直线平行于抛物线的对称轴.
(课本第二册(上)习题第题) 图1
让学生以此题为背景,提出不同的命题,并试证明.经过学生课外不断的探索,几乎每一天都有新的命题出现,有的已证明,有的没有证明,还有的甚至是错误的命题.我把学生的最新“命题”都贴在墙上,让学生去观看,从中启发灵感,进行再创造.
二、问题提出
问题自己提出,自己解决,对学生是一个很大的挑战,但学生们的学习积极性很高,晚自修前就有学生从逆命题角度出发提出问题并证明.
问题1 若轴,三点共线,则有三点共线.
问题2 若轴,三点共线,则有三点共线.
学生简证如下:
如图1,设抛物线方程为,焦点.
直线方程为,
设
(1),,而所以
由,得,所以
所以,即三点共线..
(2), ,
三点共线,,即,,
.
因为问题是学生自己提出的,所以学生主动探究的兴趣很浓,问题解决过程中出现了很多奇思妙想.如问题1中有学生直接连接,利用初中平面几何知识证明了为与轴的交点(证略).其他同学看了很受启发,不久就有一位同学提出下面的问题:
问题3 若过抛物线焦点的弦,过作轴交准线于点,与轴交于点,则平分线段.(图1)
三、问题拓展
第二天墙上出现了这样的一个命题:
问题4 设椭圆左焦弦,若过作轴,
连直线与直线交于点,则点在准线上. (图2 ) 图2
显然这位同学用类比的探索方法,提出上面的问题,同学们看了觉得很新奇,但很快有同学提出质疑,若垂直轴,交轴于点,易证,这显然不可能恒成立.这位同学的命题虽然错了,但我肯定了这位学生敢于创新的精神.他的创新思维激发了其他学生的灵感,墙上出现了许多命题,摘录如下:
问题5 若过椭圆左焦点的弦,过作轴交左准线于点,与轴交于点,则连接的直线平分线段.(图3)
问题6 若过双曲线右焦点的弦,过作轴交右准线于点,与轴交于点,则连接的直线平分线段.(图4)
图3 图4
学生简证如下:
问题5 过作垂直交于点,交轴于点,由椭圆第二定理知:,①
轴,则 ②
轴,则 ③
由①②③知,即为的中点.
同理可证问题6.
学生的学习激情点燃了,学生们不满足于现状,继续努力探索新命题.我建议学生多去图书馆查阅一些资料,增加自己的见识.学生学习激情很高,更自愿去图书馆查阅资料.几天后,又有新命题出现在墙上.
问题7 设椭圆左焦弦,若连接的直线交于点,则点在左准线上.(如图5)
问题8 设双曲线右焦弦PQ,若连接AQ于BP交于点M,则点M在右准线上.(如图6)
图5 图6
命题者验证了轴时,命题成立.当与轴不垂直时,还没证明,共邀班内其他学生共同探讨.学生们的奇思妙想令我折服,我肯定了此命题是正确的,并在课堂内提了一些证明建议.此时班中学生们情绪激昂,跃跃一试,都渴望着自己能最先解决这一难题.终于有学生证明了这一命题.
设椭圆方程,
直线的方程为,直线的方程为
令,得直线的方程为
令,得
只要证,即
而直线方程为,只要证:
由,
得,
所以成立,即点在准线上.
双曲线类似证明(略).
四、问题演变
学生们的探究热情越来越高涨,各种各样的命题几乎每天都有,有一个问题最让学生们激动不已,问题7中弦绕着焦点旋转时,与的交点所成的轨迹是准线,受此启发,有位学生提了这样一个问题.
问题9 若垂直轴,当沿着轴平移后(椭圆内),与的交点的轨迹是什么呢?双曲线呢?(图7、8)
经学生们的努力探究后,终于在墙上出现了令人惊奇的结果.图7中点的轨迹是双曲线,而图8中点的轨迹恰是椭圆.这位同学的探究成果令全班同学都沉浸在数学的美妙之中,让学生真正悟到只有不断地深入探究,才能真正的体会到数学的内在魅力.
学生简证如下:
设椭圆方程为,设
直线方程:①
直线方程:②
由①②可得:③
又④代入③,得
化简得:
同理可证图8的轨迹为椭圆
提出问题与解决问题相互作用,相互促进,极大的激发了学生的学习积极性与主动性,几乎所有的学生都不知不觉地参与了整个探究过程,都能站在各自的角度提出不同的问题来.学生间相互讨论,合作进取,同时又相互竞争.这次课外数学学习方式的探究活动,充分发挥了学生的想象力和创造力,充分发挥了学生的学习潜能,让学生树立了战胜困难的勇气和信心,体现锲而不舍的精神,也为以后的数学学习方式开辟了一条新路.
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