解析几何中离心率e范围解题策略
宁波市北仑区柴桥中学 徐泽绕
求离心率e 的范围是解析几何中常常考查的一类题,它涉及的知识面广,综合性大,所以难度也较大,且能很好的考查学生的综合能力和数学素养,但是学生往往因为建立不了不等式关系,或理不清思路感到无从下手。本文通过几个例题谈谈几类常见的求离心率e的解题策略。
一、利用曲线的范围
例1、设椭圆c: +=1长轴的两端点分别为A、B,若椭圆上存在一点M使∠AMB=,求该椭圆离心率e的值范围(第十三届希望杯高二培训试题)
分析:显然求离心率e范围最好如何建立起关于a、b、c的不等式关系。
解:设M (x,y) ∵ A(-a ,0) , B(a ,0)
∴=,= 又∵∠AMB=
∴tan==,即()+=0 ()
又∵+=1, ∴ 代入 (),得
∵∴=, ∵ ∴
即4, ∴
∴ (2舍去) ∴ ∴∈[,1]
点评:本题主要就是利用椭圆的范围中,建立不等式关系,这种题型隐蔽性强,所以难度也较大。
二、利用三角函数的有界性
例2、椭圆+=1与x轴正方向交于点A,如果在这个椭圆上总存在点P使OP⊥OA,O为原点,求椭圆离心率e的范围
解:设P(acosθ,bsinθ) (θ)
∵OP⊥OA, ∴ 化简得
∴
点评:本题关键在于建立和三角函数的关系式,再利用三角函数的取值范围求出的范围,是一种常见的求的方法。
三、借助已知不等式求解
例3、双曲线的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围. (2004年全国卷Ⅱ高考理科数学第21)
解:直线的方程为,即
由点到直线的距离公式,且,
得到点(1,0)到直线的距离
,
同理得到点(-1,0)到直线的距离
由 即
于是得
解不等式,得 由于所以的取值范围是
点评:借助已知不等式求解,此种题型比较简单,也比较常见,学生容易入手。
四、借助一个参数的范围求解
例4、设双曲线C:相交于两个不同的点A、B.
(I)求双曲线C的离心率e的取值范围:
(II)设直线l与y轴的交点为P,且求a的值. (2004年全国卷Ⅰ高考理科数学第21)
解:(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
双曲线的离心率
(II)略
点评:本题的关键在于借助a的范围求出的范围,也可以叫判别式法或者转化为求函数值域的方法。此种题型也是学生比较容易接受并掌握的。