“手脑并用”话相似—— 基于数学美学理念下的相似三角形复习课
2006年10月29日，笔者应华东师大职培中心基础研究部之邀，在华东师大数学馆，开了一节题为“手脑并用”话相似的相似三角形复习课。授课对象是上海进华中学的初三学生们。
正如梁启超先生所说：教育家有一种特别便宜之事，因为“教学相长”的关系，教人和自己研究学问是分离不开的。一面诲人，一面学，人也教的进步了，自己所好的学问也进步了，天下还有比他再快活的事吗？
上海之行，师生相融，共探数学之美，十分愉悦。如今，撰文如下，以供同仁回味。
一、理想中的教学目标
《数学通报》2006年第45卷第6期，杨乐夫人黄且园女士的文章《一位数学家的艺术之路——记王元教授》中，王元先生如是说：什么是好的数学？评价数学的标准是什么？“数学的评价标准和艺术一样，主要是美学标准，美学对物理科学也很重要，但对数学，它是第一标准。数学之美：简洁、对称和神秘。”
以简约、清晰的数学“问题串”驱动，揭示数学本质的和谐、对称和恰到好处，以及数学内在的深邃、神秘和充满遐想，培养和形成“动手操作”与“逻辑思维”相融互摄的数学问题解决能力。这就是我理想中的教学目标。
二、实际的教学行程让人身心激荡
见面
有一件小事，虽然和当天即将演绎的数学无关，但是，有记录的必要，我以为。
那一张纸条，肯定是鱼贯而入报告厅的学生中的某一位放在讲台上的。我看见了这样的文字——老师：我们会配合您上好这节课的！进华中学。端正、稚嫩的字体，纸条我至今留着。
这是一群怎样的孩子啊！
感谢他们的老师和父母给了他们良好的教养，感谢他们天性中的温润和善良。可是，除了感谢，我心中涌上来更多的是如同倒翻了五味瓶般的感叹，甚至还有些许心疼。我想和这群素昧平生的孩子们说：你们千万不要有“配合”老师的念头，也不必“配合”老师。因为老师不是演员，不是来这儿演出和作秀的。我们是数学学习的“同志者”！当然，在一起共同探究数学之真谛的过程中，老师会起到引领、帮助同学们的作用，更有这样的时候，那就是，同学们的思维，也能闪亮出智慧的火花！所谓“教学相长”。
上课
1、“双基”的准备和落实
师：下列图形中，包含了许多相似三角形的基本图形，你能找出来吗？并且请给出理由。
⑤ ⑥
生：图①、②：有两角对应相等的两个三角形相似；
图③、④、⑥：有两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似；
图⑤：三条边分别对应成比例的两个三角形相似.
师：还可进一步挖掘：
（1）事实上，图①也可以是相似三角形的平行线判定；
（2）图②中，再连结DC、BE，有否新的相似三角形产生呢?它们分别是什么？为什么？
生：……
【感想与评析】
开课伊始，开门见山想要做的第一件事情，就是对相似三角形“双基”的检审和准备。没有良好的“双基”做基奠，任何数学问题的解决都将是“空中楼阁”。
导课时，设计的问题切入层次低、口子大，呈现的图形十分简约，但是极具代表性和富有美感。可以看到，学生们参与度高积极性也高，而且对于第一次见面的师生来说，可以在最短的时间内，相互接受、彼此容纳。无论从情感的角度还是从做学问的角度，都有了一个良好的开端。
2、“问题串”的展开和探究
〖问题1〗
师：一个很简单的问题——如何找线段AB的中点？
生A：对折 （漂亮！全场微笑）；
生B：刻度尺 （行！老百姓都知道的方法）；
生C：尺规作图（呵呵……，看来C同学可不是一般的老百姓！）
师：如今，圆规不得用，只有一副刻度模糊、磨损了的三角板，能否找到线段AB的中点呢？
生：…… （出现迟疑和困顿）
师：我来试试。（边说边画）
用这副三角板任作一条直线MN∥AB；在直线AB、MN的同一侧任取一点P，连结PA、PB，分别交直线MN于C、D ；再连结AD、BC，相交于点E；画射线PE交线段AB于点O，点O就是线段AB的中点。
师：同学们是否认为我的作法正确呢？
生：（点头、首肯、认可）
师：（微笑着调侃）呵呵，刚相识就如此信任与我，谢谢！但是，我们数学讲究的是“言必有据、话必有理”，我想问，为什么？？？
事实上，纵观作图过程，我们能看见的条件非常之简单，只有“MN∥AB”.
(众生动手画图、观察图形、轻声议论、探讨、琢磨……)
生D：由于MN∥AB，可得△PCF∽△PAO；于是，CF／AO=PF／PO，
同理，△PDF∽△PBO，DF／BO=PF／PO，
CF／AO= DF／BO
师：漂亮！如此对称之美让人心动！可是，问题似乎还没有解决？ 怎么办？
生E：再找一对相似三角形：△CFE∽△BOE 与△DFE∽△AOE，同理，可得：
CF／BO= DF／AO
……
师：好，现在，三角板也没有了，只有一副圆规，能否找到线段AB的中点呢？
此问题我想留给同学们课后思考。
〖问题2〗
师：同学们，请画出两个不相似的直角三角形；
生：（积极地动手操作）
师：我特别想问问你们，你是如何让两个直角三角形不相似的呢？
生F：让两锐角两两有明显的不等。
生G：还可以从边的角度来考虑，不成比例。
师：好！A piece of cake ! 要让两个直角三角形不相似，虽然颇有讲究，但还是很简单的。
师：同学们，那么你能否分别将这两个不相似的直角三角形，各分割成两个三角形，使所分成的两个三角形分别对应相似呢？所谓的“化腐朽为神奇”！
生：（又出现了些许迟疑和困顿）
教师提示、启迪，师生相互探讨，议论，学生心领神会、达成共识：从“角”着手考虑是合理而明智的；分割线必然是从三角形顶点出发的；而且是从较大的角中分割出较小的角。
生H：可以从一个三角形的直角中分割出另一个三角形的一个锐角，我可以到黑板上画吗？（见图⑦）
师：当然！
生I：我还有一种分割方法：因为两个三角形的不相似，所以它们的锐角也两两不相等，于是，可以从较大的锐角中分割出较小的锐角，我也可以上来画吗？（见图⑧）
师：当然可以！你来吧！
（此时，有笑声从我们所有人的心底里发出，那种美好，真是妙不可言！）
师：谢谢两位同学睿智的展示。
现在，我又有一个课后思考题留给大家：你能否分别将两个不相似的钝角三角形，各分割成三个三角形，使所分得的三个三角形分别对应相似。
〖问题3〗
边长为1厘米的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC.请同学们在网格上，画出一个与△ABC相似且面积最大的网格三角形，并求出其最大面积？
生：（这又是一个能够马上动手进入解题状态的问题）
师：各位同学，请注意其中的关键词：相似、面积最大、网格三角形。
（教师在巡视同学们解题方法的同时，不时指出其中的问题。）
师：我很抱歉地告诉你，你的这个三角形并非最大的，还有比它更大的呢！
师：哦，我很遗憾地告诉你，你的这个三角形和△ABC并不相似呢，你不妨再看看。
（一些同学已经发现了解决问题的切入口，一些同学还在摸索中尝试。教师请一代表阐述自己的观点）
生J：网格图中最长的线段是对角线，如若对角线能成为
与△ABC相似的网格三角形的最长边，那么，问题就迎刃而解了。
师：说得真好！那么，这种理想状态能否实现呢？
生K：能！我来画给大家看。当然，我们还需要辅助一些计算来说明问题。
师：事实上，这个问题尝试多了也能凑出来。但是，令我高兴的是，同学们能从理性的角度给出数学本质上的严谨的阐述。原来问题的解决是有规律可循的。
好，我又想给出我的课后思考题了：请问，在这个正方形网格图上，有多少和△ABC相似的网格三角形？需要提醒的是，全等也是相似的一种特殊情况噢！
【感想与评析】
“问题串”的设置大都简约、明晰，而且似乎在最初的时刻，人人都可以马上动手进入解题状态。但是，不能否认的是，每一题都充满了刺激和神奇，并非一蹴而就。令人心向往之的同时又不乏艰辛和挑战。特别地，问题解决的过程处处彰显着数学之美。
3、作业与练习
〖问题4〗
矩形的长与宽分别为1，a（其中a大于1），将其分割成三个与原来矩形均相似的小矩形，画出分割图，并求出相应的a的值.
〖问题5〗
如果正方形的一边落在三角形的一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形）
（1）请在图⑨、图⑩的两个直角三角形中分别画出可能的内接正方形，并通过计算说明哪个内接正方形的面积最大？
（2）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c，请问怎样的内接正方形面积最大？并说明理由.
⑨ ⑩
三、留下的是什么？
爱因斯坦曾经援引过M.劳厄尔的一段话:“教育，是指所有学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些东西”。
最后，我在课将结束与学生分别之时，这样说：
同学们，作为教师我来说，题目如何能讲得完？！作为学生你来说，题目又如何能做得尽？！最关键的是：要能在若干题目的解决、领略、思考过程中，得到灵动的感悟和深刻的启迪。比方说，今天的课中，动手操作与逻辑思维的相融互摄，以敏锐的嗅觉和敏捷的触角，达到更多数学问题的解决。
而且，最美好的是：虽然只有45分钟的相聚，可是，我们毕竟从今往后就认识了。以后的日子，让我们相互切磋、教学相长。
参考文献：
黄且园：《一位数学家的艺术之路——记王元教授》《数学通报》2006年第45卷第6期
梁启超: 《理想与气力·趣味教育与教育趣味》 内蒙古人民出版社
张奠宙：《中国数学双基教学》 上海教育出版社
孙维刚：《我的三轮教育教学实验》 北京教育出版社