浅谈初中数学概念的教学
摘要 数学概念教学是数学教学的一个重要部分，精心地设计教学过程，有利于学生思维的培养。在概念教学中要注重概念间的联系,了解概念的体系；重视概念的背景与学生的知识经验，注意概念的引入；弄清概念的内涵和外延，剖析概念的本质；理解概念，掌握概念的符号；注意概念的运用，重视概念的巩固；借助多媒体技术，使抽象概念具体化。
关键词 概念教学 概念引入 概念本质 概念运用
数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。它的产生和形成过程，一般地说，是人们在对实际的（或具体的）事例观察的基础上，通过比较、归纳，再进一步概括，抽象出本质的过程。实质上就是一个思考的过程。初中数学教学内容里有大量的数学概念，这些概念是学生在学习中正确思考问题的基础，使学生有创见地解决问题。它既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心。因此，作为教师在教学中必须加强数学概念的教学。
一．注重概念间的联系,了解概念的体系
数学概念具有很强的系统性。概念的形成由简单到复杂，由个别到一般的变化过程，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念体系。因此，在数学概念教学中，要先弄清楚学习这个概念需要怎样的基础，地位如何，在以后的学习中有什么作用。这样在教学时能主次分明，做到既复习巩固已学过的概念，又为以后要学习的概念作好准备。例如，绝对值概念贯穿着整个中学数学，先是在七年级《有理数》这一章引入，接着在算术平方根及方程、不等式中出现，把绝对值的概念从有理数拓展到实数，而在高中又扩展成复数的模。因此，在教学中要把握各次的教学要求，逐步加深理解。
二．重视概念的背景与学生的知识经验，注意概念的引入
概念的引入是进行概念教学的第一步。概念的引入通常有以下几种途径：
（1）从实际引入。在教学中密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，观察有关的实物、图示、模型，使学生在感性材料的基础上理解数学概念。例如在教学“数轴”这个概念时，如果直接告诉学生 “把一条规定了方向、原点、和单位长度的直线叫做数轴”。这样大多数学生不可能一下子深刻领悟和掌握。在教学时，可以先列举一些生活中的数学例子，如温度计上的“点”表示物体的温度，杆秤上的“点”表示重量，标尺上的“点”表示长度等。秤杆、温度计、标尺都具有“三要素” ： ① 度量的点 ② 度量的单位 ③ 增减方向。这些模型都启发人们用直线上的“点”来表示数，从而引出“数轴”概念。让学生从对概念的现实原型的感受，再由抽象的特征浓缩成数学概念。又如，在正负数的概念教学中，负数的概念对学生来说抽象又难理解，在教学中首先要给学生认识大量的相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、零上与零下等，使学生在现实原型的基础上，理解正负数的概念。这样既有利于学生理解数学概念，同时也使学生认识到数学概念的产生来源于实际的需要，激发学生的学习积极性。（2）从已有的知识引入。数学的知识系统性很强，内在联系比较密切，在建立新概念时，要善于利用已有的概念进行引渡。例如，一元一次方程的概念，是建立在“元”、“次”、“方程”这三个概念的基础上，教学时首先要明确“元”表示未知数，“次”表示未知数的最高次数，次数是对整式而言，然后引导学生观察思考一元一次方程的特征。这样学生就很容易地理解一元一次方程概念的本质属性，也为以后学习一元二次方程，二元一次方程的概念打下基础。（3）用类比的方法引入。类比有助于明确概念的内涵，了解各概念之间的区别与联系。类比不但是思维的一种重要形式，而且也是引入新概念的一种重要方法。例如，分式可类比分数引入，不等式可类比方程引入，相似三角形可类比全等三角形引入。
三． 弄清概念的内涵和外延，剖析概念的本质
内涵和外延是构成数学概念的两个重要方面。数学概念的内涵反映数学对象的本质属性，外延是数学概念所有对象的总和。对概念的深化认识必须从概念的内涵和外延上作深入的剖析。剖析概念的内涵就是抓住概念的本质特征。例如，教学正方形概念时，已经学过平行四边形，矩形，菱形的概念，在教学时可通过对正方形与矩形、菱形等概念作比较分析，发现正方形概念的内涵中包括矩形和菱形概念的内涵，从而在外延关系上得出正方形是特殊的矩形和菱形，而它们又都是特殊的平行四边形。从对正方形概念的教学，转向对平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的区别及其联系的分析，进而把平行四边形的知识系统化。而对有些容易混淆的数学概念，如负数和非正数，角的平分线与三角形的角平分线，小于和不大于，平方根和二次根式，乘方与幂等，在教学中注意引导学生从概念的内涵和外延上加以区别，找出它们之间的不同点和相同点。这样不仅明确概念的内涵与外延，而且剖析了概念的本质属性，有利于学生理解和掌握数学概念，也有助于培养学生思维的广阔性，提高学生的辨证思维能力。
四．理解概念，掌握概念的符号
符号是数学中特殊的“文字”，用数学符号来表示数学概念，既是数学的特点，又是数学的优点。数学课程的一个任务就是“使学生感受和拥有使用符号的能力，使学生懂得符号的意义、会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。”由于数学概念本身就较为抽象，加上用符号表示，从而使概念更抽象化，因此教学中要注意引导学生对符号所表达的内涵进行纵横联系，使学生真正理解概念，理解符号的数学含义。例如，在锐角三角函数概念的教学中，让学生理解正弦、余弦、正切、余切是表示相应的两条线段之比，实质上是一个比值，比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与对应的角的大小有关，当角的大小确定，比值也唯一确定。因此，他们的自变量是角，比如sin是表示 的正弦函数的一个完整符号，它不仅表示了三角函数的种类和名称，而且如果从变量的角度来看，它还表示了是自变量， sin是的函数。如果用字母ｙ来表示这个函数，那么函数与自变量之间的关系也可以像一次函数，二次函数那样用等式来表示，写成ｙ= sin ，从而让学生明白 sin是一个整体，只有符号sin是没有意义的。
五．注意概念的运用，重视概念的巩固
巩固概念是概念教学的重要环节。心理学告诉我们，概念一旦获得如不及时巩固就会被遗忘。所以巩固概念是具有十分重要的意义。而引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，将直接影响学生对数学概念的巩固。在教学中要注意引导学生在判断、推理、证明的过程中运用概念，也要注意在日常生活和生产实践中运用概念，以加深学生对概念的理解和巩固。 例如，平方根的概念是初中数学的一个难点，在教学这个概念后，可以通过以下几类练习题加以巩固。第一类，使学生加深对平方根符号的运用，可以让学生练习：（１）把5²=25，3²=9，（-7）²=49，改写成平方根形式，（２）把=12，－=-0.9等改写成平方形式，并让学生说出底、幂、被开方数、平方根，通过这些练习一方面把被开方数a与二次幂联系起来，加深对符号意义的理解，也明白为什么a≥0，为以后学习二次根式作好准备。另一方面又理解了平方运算和开平方运算的互逆性。第二类，扣住平方根定义去思考。如求16，81，0，6 这些数的平方根。讲解时可以这样分析：什么叫求16的平方根？根据平方根的定义，就是要求一个数x，使x²=16。因为4²=16，（- 4）²=16，所以16的平方根是4和 -4。第三类，利用反例加深对概念的巩固，如：判断下列语句是否正确 ，并说明理由。 （1）36的平方根是6，（2）0没有平方根，（3）-9的平方根是3和－3，（4）13没有平方根，（5）2是4的平方根。通过这些练习，巩固学生对平方根概念的理解。
六．借助多媒体技术，使抽象概念具体化
在教学中有些概念对学生来说往往抽象难懂,是教学的一个难点。利用多媒体计算机集图像、动画、声音等于一体的优势，使教学的表现形式更加形象化、生动化、多样化，有利于充分揭示数学概念的形成与发展；同时也吸引学生的注意，开阔学生的知识领域，帮助学生形成科学的数学概念，提高学习积极性，从而提高数学课堂的教学效率。
例如：在教学旋转变换的概念时，利用多媒体演示一些生活中旋转的例子（如下面3个画面），在激发学生兴趣的同时感知旋转的现象。接着通过动画演示，让学生观察发现风车的叶子由A至B及钟表的钟摆由C至D的运动过程中，物体的形状、大小没有发生改变，并且在转动中物体上的所有点都绕一个固定点，沿同一个方向，转动同一个角度，从而概括出旋转变换的概念。又如，在教学两圆的五种位置关系中的外离、外切、相交、内切、内含等概念时，利用多媒体，从两圆外离的位置开始演示，其中一个圆固定不动，另一个圆向着它运动，从运动的过程中去理解两圆外离、外切、相交、内切、内含等概念。通过多媒体的辅助教学，使抽象的数学概念具体化，让学生对抽象概念有更加直观的认识，从而也培养了学生的直观感受能力。
搞好数学概念的教学，使学生透彻地牢固地掌握数学概念是提高数学教学质量的关键所在。在平时的概念教学中，还应重视学生的思维特征和认知水平，运用不同的教学方法，让“人人学有价值的数学”；使“ 不同的人在数学上得到不同的发展。”
参考文献：
孙维刚 《孙维刚初中数学》 北京大学出版社 2005年1月
田万海 《数学教育心理学》 浙江教育出版社 1999年3月
曹才翰 章建跃 《数学教育心理学》 XX师范大学出版社 2001年3月
张奠宙 戴再平 《数学教育研究导引》 江苏教育出版社出版 1994年10月