在操作中运用有效的数学模型突破教学难点

在操作中运用有效的数学模型突破教学难点
 ——《旋转》教学例谈
济南市明珠小学      杨梅
案例背景：
 《旋转》是人教版五下的内容，小学教材中新增内容。旋转的知识包括旋转的概念、旋转的三要素，图形旋转的有关性质，并能通过不同形式的旋转，设计图案。在小学阶段对“旋转”没有明确的定义，只要学生能概括出“绕一个点旋转”“向什么方向旋转”“转动多少度”这几点就可以了，像“旋转中心”“旋转角”这些名词不必要求学生掌握。在教学中要求让学生进一步认识图形的旋转,探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90°和画出一个简单图形旋转90°后的图形,发展空间观念。
 《旋转》是空间与图形领域中较难掌握的一个内容，其原因有以下几点：
1、学生对旋转的认知过于表面化。
 在学生头脑中“旋转”现象是一圈一圈的转，象“秋千、制动杆” 等这样的旋转一定角度的运动现象，绝大多数学生认为不是旋转。
2、旋转的性质和方法的感知需要一个探索和熟练的过程。
 小学对旋转的概念、旋转的性质的感知以及运用旋转的性质画出旋转后的图形是在一节课里完成的。要想让学生在明确了性质的基础上，自主地发现和优化出旋转的方法是较为困难的，相对来说学习任务重。
3、受知识和空间想像能力的限制正确的表象较难建立。
 要把一个图形正确的旋转一定的角度是本课的教学难点，图形由多条线段组成，在对图形进行旋转时受其他线段的干扰，看混了边的现象极为普遍。学生旋转找不到对应边，很难正确的把握旋转的角度。
常常出现一下错例：
 如：（1）三角OAB 绕O点                      （2）三角形OAB 绕O点
 顺时针旋转90度                             逆时针旋转90度。
 
   分析以上几点，要让学生掌握旋转的方法并发展空间观念，最根本的做法还是要运用“实物操作”，抓住操作活动让学生逐步的感受到从一条线段的旋转到二条线段的旋转变化再到整个图形的旋转变化。在不同纬度的变化中逐步感悟到旋转的最核心的方法就是要看准一条边，并注意其旋转前与旋转后的夹角的度数。
 为了突破以上教学难点，我们把课本中在方格纸上旋转图形变为在极坐标中旋转图形。采用“极坐标”这一数学模型，可以更加充分的让学生感受到图形是在旋转的过程中形成角度。它可以逐步的训练学生学会在旋转时要看准对应边，并关注对应边夹角的度数，提高学生旋转图形的能力。
 
二、案例描述：
感知旋转的方法
片段一：借助量角器旋转铅笔，初步感知旋转方法。
1、拿出1号纸和铅笔象这样放好，找到旋转中心按住它，让铅笔绕着O点顺时针旋转90度，开始。（一名学生台前操作）说说怎样验证旋转了90度？（生用三角板比量）铅笔开始的位置和结束的位置形成了一个90度的夹角，我们就说铅笔旋转了90度。本范文由范文同学网(www.lunwentongxue.com)整理，更多范文，请点文档范文范文查看
2、现在把铅笔这样放（竖着放）让它绕着O点逆时针旋转40度。（生操作）说说怎么了？
我这有个量角器，看（放大）谁能到前面来做一做？（生操作）
3、你看有了量角器就方便多了，如果有两个量角器把它们合在一起，旋转起来是不就更加自如了？你那就有一个拿出2号纸看看。能看懂吗？
4、把铅笔放上去，这一次让它绕着O 点顺时针旋转100度，开始。（一名学生板前做其他学生数度数。）
这个学生为什么会？铅笔可以看成一维的，结构简单。
片段二：借助极坐标旋转半圆，深化旋转的方法并感知旋转的性质。
1、这是什么？半圆能旋转吗？半圆不但能旋转还能旋转成图案呢，看什么？一个半圆经过怎样的旋转能形成大风车的图案呢？同桌拿出信封一起研究研究。
2、汇报：绕O点顺时针旋转4个90度。（生边演示边汇报）
 师提问：半圆从这旋转到这（演示）你怎么知道是旋转了90度的？（生：原来在0这里现在在90这里）大家明白吗？你能指着具体的再说说吗？（生再指着说）你看的是半圆直的边开始的位置和结束的位置形成一个90度的夹角，我们就说半圆旋转了90 度对吧？那这条弯的边还需要证明它是不是也旋转90度？（不需要）对，不需要证明，他们是一个整体，打个比喻，咱们同学要从济南到北京，我们的头到北京了，你的脚还能留在济南吗？在旋转的时候看准这条直的边，看准了吗？现在他们要一起出发了，开始数10度20度……
旋转的到黄色瓣这里了，先在以这里作为新的起点，再旋转一个90度，看准这条边了吗？，开始数数10度20度……，就这样再旋转两个90度，就形成大风车的图案了。
3、还有不同的方法吗？（逆时针旋转）看着这个半圆，把它记在脑中，闭上眼睛，脑中出现半圆了吗？让它绕O点逆时针旋转90度，好开始转，到地方了吗？继续旋转90度，转好了吗？再旋转90度，再转一个90度，形成什么图案了？把眼睛睁开。
4、你看，在旋转半圆时看准它的一条边就简单多了。
把材料变成二维的，但要素少，只有两条边。
片段三：在极坐标中旋转三角形，强化旋转的方法，提高学习能力。
1、如果把半圆换成三角形，你还会旋转吗？拿出三号纸和黄色三角形。按住旋转中心，让它绕着O点顺时针旋转90度，想想旋转后会到哪，开始转。
2、展示：同时展示对的和错的。
（1）哪一个是对的，为什么呢？（小组讨论讨论）派代表说一说。
生：第一个是对的，看0A边原来在0度这里，现在旋转到90 度这里，形成了一个90 度的夹角。
（2）师是不是这样呢？你领着大家一起数数。
（3）我觉的这个没错啊。你看这不也形成90 度的角了吗？（指OA边和OB 边的夹角）生A：看错边了。师：一开始看的是OA 边，转着转着看成OB边了。还有不同的吗？
生B：看OB边在90度上，就认为转了90 度。师：OB边到底旋转了多少度呢？一起来数一数。
3、在旋转的时候，我们应注意些什么？（看准同一条边，还要注意同一条边前后的夹角是多少度。）
4、用同学们说的这些办法试一试。看着这个三角形，让它从这里开始继续顺时针旋转90度。想想旋转后会到哪，开始转。展示：对吗？对的举举手。
5、再来一个，拿出4号纸，让三角形绕O点，逆时针旋转90 度，想想旋转后又会到哪，开始转。（一个学生台前展示，其他学生一起数度数）
三、案例反思：
 教学中我们从以上三个角度，逐步让学生掌握旋转方法。片段一的中铅笔的旋转旨在深化三要素的基础上，让学生初步感受到旋转的方法。在这一环节中，我们分了两个层次来进行教学。一是把一条线段旋转90度，让学生意识到旋转时要看线两条边夹角的度数。二是把一条线段旋转40度，学生已不能通过目测或三角板去找度数了，此时他们主动地寻找合适的工具（量角器）并自然的把学习的注意力聚焦到两条边的夹角上。量角器的引入为后面极坐标的生成奠定了基础。
 有了量角器的帮助，学生可以自如的解决一条线段的旋转。教学到这里学生对“旋转”已不再感到神秘，从学生的练习中我们也感受到旋转的方法掌握比较牢固了，应该教学两条线段的旋转了。最初我们是这样做的，在试讲的过程中就遇到了一开始提到的难题。学生不知道该看哪条边，找不到对应边的夹角，旋转的性质就更是无从谈起。
于是有了片段二的教学，在研究“一个半圆经过怎样的旋转能形成大风车的图案”的过程中，学生自觉主动地应用了前面掌握的旋转的方法。这一教学环节不但承载着了深化旋转的方法，而且它还可以较为直观的让学生感受到旋转的性质。即一条边旋转了多少度整个图形都旋转了多少度，旋转后图形的形状大小都不变。在这里第一次让学生看着边去数度数，目的是让学生在数的过程中感受到旋转形成角度，旋转角度是旋转现象中必备的要素。为后面教学旋转时要关注旋转角度铺设了台阶。
 半圆的旋转让学生明确了旋转的性质， 是不是就真的会应用这一性质来正确的旋转一个图形了呢？半圆是一个特例它只要把直的边旋转一定的度数就可以了，不具有普遍性。为了帮助学生深层次的掌握旋转的方法，我们设计了把半圆换成三角形的学习活动。正如我们设想的那样，学生出现了前面的呈现的问题。由此我们可以看出，性质的应用还离不开方法的提炼与优化。我们以“极坐标”这一数学模型作为依托，让学生展开辨析活动以及边旋转边数角的活动。在辩的过程中学生头脑中的表象愈渐清晰，在数的过程中对“判断一个图形旋转了多少度，就要看对应边的夹角是多少度”这一知识的理解也愈加深刻。极坐标的使用提高了学习效率，培养了学生的学习能力，突破了教学难点。
 

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