撷寻常之材 筑精彩之路
——论有效教学背景下《图形和变换》教材的挖掘艺术
温州市龙湾区教师发展中心 卢芬芳
【内容摘要】在有效教学背景下，静态的教材需要教师的艺术挖掘。本文结合教学理论和相关案例，分别阐述了操作感悟、上串下联、突出应用、多向思考四种关于浙教版数学七年级下册《图形和变换》教材的挖掘艺术，并从知识技能增长、系统建构流畅、情感需求调动、持续进步发展四个方面阐述了有效教学的内涵。
【关键词】有效教学 图形变换 挖掘艺术 数学教材
随着新课程改革的不断深入，有效教学已成为广大一线教师的共识与追求。何为有效教学？国内学者认为，有效教学是师生遵循教学活动的客观规律，以最优的速度和效率促进学生在知识技能、过程方法、情感态度与价值观上获得整合、协调，获得可持续的进步与发展，从而有效地实现预期的教学目标，满足社会和个人的教育价值需求而组织实施的教学活动。同时，《基础教育课程改革纲要（试行）解读》也指出：所谓“有效”，主要是指通过教师在一段时间的教学之后，学生所获得的具体的进步或发展。也就是说，学生有无进步或发展是教学是否有效的唯一指标。据此定义，不难发现，作为知识载体的课本教材，也应当从静态的材质或加工、或挖掘成利于学生发展的动态资源。那么，如何采撷寻常的课本教材、构筑精彩的数学课堂呢？下面，不妨让我们以浙教版数学七年级下册第2章《图形和变换》的教材为例，谈谈在有效教学背景下教材的挖掘艺术。
一、操作感悟、弥合差距，让学生在知识技能上促“质”“量”双增
“让学生做数学，在操作中学习，在操作中感悟”，这是新课程提倡的数学教学理念之一。一堂称得上是有效的好课，不仅能让教师展示教学风采，同时也是学生感悟新知的舞台。因此，教师要善于挖掘教材中的可操作内容，通过有效的引导发现，让学生感悟新知、培养智能，力求在有限的课堂时间内弥合教材与学生实际水平之间的差距，促进知识技能的“质”“量”双增。
案例1-1：探索轴对称图形的性质
【教材原型】《2.1轴对称图形》，教材40页“合作学习”（如图1-1）
【课堂实录】完成“合作学习“第1题后
（1）我们认识了这么多漂亮的轴对称图形，那么，你能否在彩色卡纸上也剪出一个轴对称图形呢（设成果图形如图1-2所示）？；
（2）请你在所裁剪的图形轮廓线上任找三对对称点,并把每一对对称点
用虚线连接。观察这些虚线与对称轴ι，看看你有什么发现？
学生猜想、讨论或实验验证，教师选取部分图形实物展示，
由实物的主人说说自己的发现!得——不在同一条直线上的三条
虚线相互平行，对称轴垂直平分每一条虚线。
（3）对照相关概念，你能用数学语言说一说吗?（轴对称图形的对称轴（实线）垂直平分连结两个对称点的线段（虚线））；对于这个实验得来的结论，我们如何进行数学建模？
（4）（正当学生以为大功告成的时候，师又发话了）刚才，我们连结了每一对对称点，现在，请把这些对称点交叉相连，试试你又能发现什么？……
我们知道，从整体上说，教材内容和学生的认识水平是一致的，但具体到不同学校的一个班级的不同学生来说，就会出现差距。这种差距的弥合是有效教学的任务之一。弥合差距，经验说法就是吃透“教材”和吃透“学生”。就教材而言，我注意到，从“合作学习”的第1题关于生活图形的认识到第2题抽象的数学图形，中间少了一座“桥”的过渡，形式上的割裂容易让学生产生突兀感；并且，第2题的教学设计在教学参考书上是这么描述的：（1）题凭直观观察完成，（2）题用推理的方法完成，这里所指的“推理方法”即根据轴对称图形的定义去证明两条线段重合、两个角重合。据此，我仿佛从教材里看到了课堂上学生表述的困难，尤其是如我校这样地处城郊结合部的学生。回头再去审视课堂实录，不难看出，“剪一个轴对称图形”的操作恰如架起了一座从第1题过渡到第2题的“桥”，而“桥”后的分步设问又让学生在教师的指导下，朝着明确的探索方向发现了预设的本质问题。这种操作感悟的结果一方面是教材得到了“挖掘”，另一方面是学生在知识技能上获得了如下的“质”“量”双增：
1.1实验验证：从所操作的实物图形中，感悟自己所需要的新知，并进行测量或折叠等实验验证；
1.2表述新知：对照相关概念，逐步学会了用数学语言阐述“轴对称图形的对称轴（实线）垂直平分连结两个对称点的线段（虚线）”，形成对直观图形的抽象理解，无限接近真相；
1.3弥合差距：在上述案例中，教师对于教材的挖掘与学生实际水平的弥合体现在以下两个方面：
⑴ 对一部分学生而言，仅凭操作去探得轴对称图形性质的做法恐怕不能回答他们“真的是这样吗？一定是这样吗”的疑惑。于是，教师提出应数学建模，并细化为以下步骤进行：
①我们要寻找的这个数学模型必须符合什么要求？（生：轴对称图形）
②如图1-3，AD平分∠BAC，AB=AC，四边形ABCD是轴对称图形吗？
③你认为应该连结哪一对对称点？
④AD与CB的关系？
这样，这个教学过程就确保了学生能真正经历知识的发生、发展过程。他们有可能体会到，在充满生活味的学习内容中，还蕴涵着浓郁的数学味，轴对称图形性质的探索过程原来可以是一个知识技能、过程方法、情感态度逐步丰实的有效学习过程。
⑵ 仅仅依据教材，本题可以就此打住了。但是，教师却敏锐地挖掘到了书本不曾有的另一条精彩结论——轴对称图形对称点交叉相连的连线必交于对称轴上的同一点。对于成绩一般的学生，这一结论可以在上面实验验证和表述新知的基础上，通过画图直观感知；而对于学有余力的学生，教师分明是“吃透”了他们不会满足于前者，原有数学水平的明显差距很可能会让他们真的“较劲”去打破沙锅问到底，那么，课后就“不得不”调动第一章全等三角形的知识储备证“三点共线”而得了（证明如下）。
证明：如图1-4，连结AB’交直线ι于点O，连结OA'、OB
由轴对称和线段垂直平分线的性质可得
AB=A’B’,OA=OA’,OB=OB' ∴△AOB≌△A’OB’
∴∠AOB=∠A’OB’ ∴∠1+∠2+∠AOB =∠1+∠2+∠A’OB’=180°
∴B、O、A’三点共线 即AB’和 A’B交于直线ι上的同一点
二、上串下联、适当变通，让学生在系统建构中如行云流水
从建构主义的角度来看，数学学习是学生与教材（文本）及教师产生交互作用，自己建构数学知识的活动。总揽教材，虽然初中阶段的不同数学知识之间充满了内在的联系，但在教材编写中由于考虑学习难度或讨论问题的一致性等因素，有时会将具有直接联系的内容放在不同学册的不同章节，或是即使在同一章节也以块状的形式出现。因此，有效教学非常需要教师按照知识体系，按照学生的认识规律，对教材内容进行上串下联、适当变通等形式的艺术挖掘，以帮助学生逐步完成数学知识的系统建构，并力求这个建构过程能如行云流水般自然、流畅。
案例2-1：平移变换与轴对称变换的关系
【教材原型】书本43页作业题第3题,如图2-1-1
【课堂实录】
这是一次听课活动，事先我参阅了教学参考书，发现《2.3平移变换》的主要教学目标是让学生理解图形平移变换的性质以及会按要求作出简单平面图形经过平移变换后的像。一般的，我们会在课末增加1～2个作图题或读图题对上述目标是否达成加以确认，但这次听课经历完全改变了我原来的想法：
１.作一个三角形经直线L1成轴对称变换后的像（显然，他把教材上的图形与对称轴的间隔做了调整）。我有点不以为然：这些做“烂”了的题目，临近课末提它还有什么意义？可这位老师似乎很“傻”，他还要求学生作第一次的像再经直线L2成轴对称变换后的像（已知直线L1 ∥L2）。他在磨时间等下课吗？
“观察两次变换后的像，你发现了什么？”
冷不丁的，一声提问飘然而进。再接着，
一句又一句震耳发馈的发问接锺而来。
“你认为像2是由原图形经过平移而来，
那平移的方向和距离各是什么？
“把一个图形经过两次轴对称变换，有时也可以用平移变换来解释，这说明，图形的这些变换之间是有______的？”
生立即集体接口：“图形的这些变换之间是有联系的。”
于是，我在自己的听课笔记上写下了这么一段话：
低起点、高落点是义务教育阶段有效教学的本质要求。但一直以来，我们都有一个共识，那就是课堂定一个低起点容易，找一个高落点为难。可今天，我终于明白，不是后者为难了我们，而是因为我们曲解了它。象这位执教老师设置的三道题，你多半不会赞同它们难度有多大，但你肯定无法否认它们挖掘得深。就是这样简单的三道题，让授教者看似无心拈来，学习者却愈觉精彩。尤其是那句经典的结束语（原来，图形的这些变换之间是有联系的），虽只寥寥数语，却在学生面前画出了一副如行云流水般落笔的轴对称——平移变换的上串下联之建构美图，让人回味隽永，绵绵不绝。
有感于此，我认为，在《2.4旋转变换》课末小结，教师也可以
引导学生如此系统归纳：当两条对称轴平行时，两次轴对称变换
相当于一次平移变换；当两条对称轴相交时，两次轴对称变
换就相当于一次旋转变换（如图2-1-3）。
案例2-2：《2.5相似变换》
【教材原型】书本55页“做一做”（2）,如图2-2-1
【课堂实录】学生完成教材指定作图后，如图2-2-2，师：①若把图形Ｆ１与图形Ｆ２相似记做Ｆ１∽Ｆ２，则刚才所得的像与原三角形可记为＿＿＿＿＿＿；
②若把相似变换中放大或缩小的倍数记为ｋ，根据相似变换的性质，可得等式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝ｋ=1/2；图中有哪些角相等？反之，你认为满足什么条件的两个三角形相似?
③图中的△A’B’C’一定要画在如图的位置吗？
④若抽去网格，你能否作出符合条件的△A’B’C’？
课堂发现，学生颇感兴趣地带着自己原有的知识背景、活动经验走进了上述适当变通的数学活动，对于①②问这类在九年级上册才涉及的相似三角形的记法、性质及判定掌握得很快，而对于如③④问这样具有相当挑战性的问题则出现了一时半会的“冷场”。可是，只要教师舍得给时间，基础较好的学生就必将在教师提供的这样一个充满探索、创造的教材挖掘平台上收获知识、提高能力、建构于“无痕”：借助②③问，通过测量作图，得到如图2-2-3的①②两种符合条件图形的并非难事（实际上，只要在△ABC所在的平面上任取一点，再取该点与各对应点连线的一半，则所画的三角形即为满足条件的三角形（如图2-2-2的③④），但这种方法在大众化的学校生源面前，现阶段还是不讲为宜）。
三、突出应用、体验成功，让学生在知识价值里“动”情感需求
课堂教学是一个有机的整体，认知活动、情感活动、实践活动和人际交往活动不是相互对立、彼此割裂的四个教学过程，而是同一个教学过程的四个侧面，它们是相互交融的。有效教学要求教师在实际教学过程中，既让学生有“身”的物质参与，也要有“心”的情感需求，做到感性与理性的统一。
但是，虽然目前初中数学《图形和变换》的教材也编制了不少的应用型问题，可从功效来看，无一例外只是为了体现“理论联系实际”的原则，普遍存在着分量过轻、范围过窄、思考过浅等不足，缺乏能使学生从中体验深层次成功感的学习内容。因此，在这一章节的教学中，教师可大胆地以教材为载体，通过挖掘、加工和再创造，增补一些应用意识突出的数学问题，让学生在学习过程中真正懂得数学是有用的，自己正在学习的正是“必要的数学”，是“有价值的数学”，从而调动内在的情感需求，主动学习、积极学习。
案例3-1：轴对称变换的应用
【教材原型】书本42页“做一做”第1题,如图3-1-1
【课堂实录】
1.完成上题
2.出示问题：如图3-1-2，为解决两个村庄A和B人们的饮水问题，决定在一条笔直的河岸上建立一个供水站P ，当供水站 P的位置在哪里时，能使所铺设的管道AP + PB最短？
温馨提示：当你解题有困难时，可以参照第1题，看看会有什么启发？
案例3-2：平移变换的应用
清晨，爱锻炼的小明正沿着一个五边形广场小道跑步。当他第一次回到原来的位置时，他的身体方向共转过了多少度？你是如何计算的？（学生们一开始认为是求五边形的内角和，纠正后普遍采用了三角形的内角和与互补的知识推得360度）
师：“你能用今天的知识解决吗？”沉寂过后，只见利用多媒体由五个外角平移拼成的周角跃然于眼前！
案例3-3：旋转变换的应用
【教材原型】教材48页“做一做”第1题,如图3-3-1
【课堂实录】
如图，（1）经过怎样的旋转变换，可由射线OP得到射线OQ ？（如图3-3-2）
（2）若把∠POQ沿逆时针方向旋转，使得射线OQ与射线OA重合，请画出∠POQ经旋转后的像；（如图3-3-3）
（3）观察图3-3-4，这个变换过程可以验证哪一条数学结论？
看得出来，案例3-1通过“造对称”解决了看似不能解决的实际问题，挖掘了教材的实践性，使能力培养寓于知识的运用之中；案例3-2则通过“平移拼图”让学生发现了多边形的外角和等于360度，增补了教材的趣味性，寓教于乐，力求让学生处于要学、爱学、好学的状态之中。可见，案例3-1、案例3-2对于教材内容，并没有照搬变换几何的理论，而是突出了用变换的思想方法处理生活问题，体现了图形变换的工具性作用。而在案例3-3中，所采撷的教材内容（1）让学生定向地回忆了本节的新知——旋转变换；精心挖掘的内容（2）又帮助巩固了旋转变换的基本性质；而内容（3），则激发了学生进行饶有兴趣的探索学习，发现了沉淀在脑海深处的数学结论“同角的余角相等”居然能在图形变换中得到全新的解释。这是一种怎样的学习感受？它们，不仅满足了学生对知识“懂”的需求，“用”的愿望，更重要的是，它们还让学生体验了源自于学习过程的一种叫做“成功”或“喜悦”的情感。
四、启迪思维、多向思考，让学生在数学素养里获持续发展
有人说，教学有三重境界，分别为授之以业、授之以法、授之以道。不同的的教学境界，对学生的影响是长远且不同的。对数学教师而言，着眼于人文性发展的“授之以道”固然非一隅之功，但个人的教学眼光绝不能仅仅停留在应试教育的“授之以业（学业）”上，还需放远目光把“授之以法”与平常的教学行为融合起来，对教材内容做到精挖细选，让教学行为做到启迪思维，逐步培养学生持续发展所需的数学素养，例如多向思考、多种策略地解决问题。
案例4-1
【教材原型】如同案例3-3，教材48页“做一做”第1题，如图4-1-1
【课堂实录】
已知：如图4-1-2，∠AOB=900，且OA=OB，经过怎样的变换，可由线段OA得到线段OB？
①生随口回答：把线段OA绕点O顺时针旋转90度，可得线段OB；或把线段OB绕点O逆时针旋转90度，可得线段OA。
②师：有没有另外的图形变换？
生：可以先平移线段OA，使点O与点B重合，再把OA绕点B顺时针旋转90度，再向左平移。不过这样太麻烦了，还是一次旋转来得简单。
师：那么，有没有别的旋转方式？如不再是从O到O，从A到B？
生（立刻兴奋起来）：有，A到O，O到B！
师（含笑）：那你试试，用尺规作图的方式找出它们的旋转中心，并说出旋转方向和旋转角度（如图4-1-3） ……
案例4-2
【教材原型】教材62页《目标与评定》第9题，如图4-2-1
【课堂实录】
已知两个等圆⊙A和⊙B如图4-2-2所示，你认为它们属于何种变换？
生1：轴对称变换；
师：请确定它们的对称轴 ……
生2：平移变换，把⊙A向右平移线段AB长度，即得⊙B ；
生3：相似变换（全等）；
生4：旋转变换，旋转中心在线段AB的中点，顺（逆）时针旋转180°（如图4-2-3）；
师：大家的看法跟他一样吗？
一阵思考过后，学生们发现：若定为旋转变换，则旋转中心可以是直线ι上的任一点！
基础教育是为学生终身持续发展奠定基础的教育。数学教育的价值并非是单纯地通过积累数学事实来实现的，它更多的是通过学生对数学思想方法的领悟、通过数学素养的养成来实现。以上这二则教学案例的共同特点可以概括为：简单而不单调，重复而不枯燥。简单，是说两个片段均是由学生熟知的基本图形（如线段和等圆）构成；重复，是指这二案例的教学，都是采取一次又一次地让学生反复寻找“图形变换”的方式。既然如此，为什么又会让人觉得内涵丰富、有效达成呢？除了教师语言得当、引导到位外，就是在案例4-1中，教师变教材原型中的“射线”为线段，通过“有没有别的旋转方式”之引导，启迪学生进行多向思考，从而在后续的“尺规作图找出旋转中心”环节中实现逆向解答。这一独到的教材挖掘艺术让本陷平淡泥泞的课堂瞬间精彩了起来，既教给了知识，更提升了学生的方法能力。在案例4-2中，教师取材62页《目标与评定》第9题，同样“放手”变换方式、提倡多向思考。结果，学生对该问题思考的角度不同，解答的方向自然也不相同。当轴对称变换、平移变换、相似变换和旋转变换依次出现时，这种生生互动、师生互动的教学现场，就把课堂从“教师讲授”的过去拉向“学生发现”的现在、跃向“我也能探索”的未来。可以说，这样的教材处理，有效地挖掘了有利于学生智力发展的潜在因素，使数学素养的培养寓于知识传授之中，极大程度地满足了学生作为一个发现者的内心需要，尤其是最后获得的“旋转中心可以是直线ι上的任一点”之结论，更是以集体智慧的形式把本节新知推向了纵深发展的高潮。它们让学生明白：数学是很神奇的，它的神奇之处不在于哪一条公式、哪一条定理，而是蕴含在其中的思想方法，这些思想方法启迪着我们的思维，不仅对于数学这一学科会有很大的作用，而且对于今后的持续发展也会有相当的帮助！
至此，我已然深深明白，教师是教材与学生二者的中介。只有适合学生的教材，才是有效的教材；只有助益于学生进步或发展的教材挖掘，才能构筑精彩的教学课堂。但务须明晰，黄沙如海，找不到绝对相似的沙粒；绿叶如林，也寻不到完全相同的一双叶片，为了眼前每个个性鲜活的学生，请展开有效教学吧。不要埋怨，教材的编排、内容的呈现不如你意，那是因为，它在等待着你的上串下联、适当变通；不要盛怒，学生学习了一个内容、参与了一项活动却谈不出收获，那是因为这个内容、这项活动没有打动他的情感需求。当你确实欲从寻常教材中走出一条帮助学生知识技能上“质”“量”双增、数学素养里获持续发展的精彩之路时，请记得叶圣陶先生的一句话吧：“教材无非是个例子。它只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要靠教师善于运用。”诚哉斯言！
参考文献：
1.余建平，浦叙德.数学课堂教学效率低下的原因分析[J].中学数学教学参考，2009（1～2）
2.数学课程标准解读[M]．XX师范大学出版社，2005，9
3.欧阳芬.做专业的教师—课堂教学的55个细节[M]．四川教育出版社，2007，12