“E—h”图像在抛体问题中的应用

“E—h”图像在抛体问题中的应用
    在抛体问题中要涉及到动能和势能的相互转化，如果只有重力作用则机械能总量不变，若除重力外还有其他外力做功，则还会涉及到机械能的变化。在解题过程中应用能量和高度图像即“E—h”图像，能进一步理解能量转化的过程，使解题简单、直观。
例1：将一小球以v0竖直上抛，设在空中受到的空气阻力恒定，且能上升的最大高度为24m，设在上升过程中，当势能等于动能时离地高度为h1，下落过程中，势能等于动能时离地高度为h2，则：（      ）
(A)h1>12m   h2>12m              (B)h1>12m   h2<12m
(C)h1<12m   h2<12m              (D)h1<12m   h2>12m
解：
一般解法：设小球能上升到的最大高度为H，则H=24m。因为在上升过程中受到空气阻力作用，故机械能随着高度增加而减少，故在上升过程中，当势能等于动能时，机械能总量大于在最高处机械能总量，故可得：
     （1）
       （2）
由（1）（2）两式得，。
 在下落过程中，机械能总量随高度减小而减小，故当势能等于动能时，机械能总量小于在最高处时的机械能总量，所以可得：
      （3）
        （4）
由（3）（4）两式得，。
故可选答案为B。
“E—h”图像解：因为在上升过程中，势能不断增加而动能减小，因要刻服阻力做功，机械能减小，即动能的减少量应大于势能增加量，且重力势能、动能与高度都为一次函数关系，据此可画出“E—h”图像，如图1：
 由图1可知，在A点即为势能等于动能时，而此时h1>12m。
 同理，在下落过程中，势能不断减小而动能增大，因要刻服阻力做功，机械能减少，即动能的增加量小于势能的减少量，据此可画出“E—h”图像：
 由图像可知，A点即为势能等于动能时，此时h2<12m。
例2：从离地面h高处水平抛出一个小球，经过时间t，小球的动能和势能相等。空气阻力不计，重力加速度为g。以地面为零势能参考面，则可知（    ）
(A)抛出点的高度h满足
(B)抛出点的高度h满足
(C)落地时的速率v1满足
(D)落地时的速率v1满足
解析：
一般方法：设在空中动能等于势能时速率为v1，则由机械能守恒得：
 在空中动能等于势能时      （1）
 由（1）解得，故。
 落地时有                   （2）
 由（2）得，故。
 答案：AC
 “E—h”图像解：由题意可知，机械能守恒且小球的初动不为零，经时间t后势能才和动能相等，下落的高度为，且可得初始势能mgh大于初始动能，画出其“E—h”图像：
 由图像横座标得。
 且可得，因此可解得，故答案为AC。
 从前面两例可知，借助“E—h”图像分析抛体问题中的能量转化过程，显得直观形象，更易理解，省去了通过列式计算带来的“麻烦”，同时使题解显而易见，对于求一些选择题非常方便。再来看下面一例：
 例3：将小球第一次以20m/s的速度竖直上抛，当它回到抛出点时的速度为10m/s，第二次将此小球以40m/s的速度竖直向上抛出，设小球在两次运动过程中所受空气阻力的大小不变，求：
（1）小球第二次上升的高度是第一次的几倍？
（2）第二次抛出后，落回抛出点的速度多大？
解析：
 小球在以不同的的速度上升与下降过程中，因为受到的阻力不变，所以小球的合外力相等，即在上升和下落过程中动能的“减少率”和“增大率”相等，在图像中表现为斜率相等，两“E—h”直线平行，故可分别画出上升过程中动能随高度的变化图（图4实线）和在下落过程中动能随高度的变化图（图4虚线）。
（1）由实线可得，，得。
（2）由虚线可得，，可得，得。 
 从前面几例可以看出，用“E—h”图像解题使解题过程来得更加简单直观，达到一目了然的效果，同时为解抛体问题提供了一个新的思维平台，从深沉次讲，它是对物理过程进行再思考再理解的结果。

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