例谈导数在求物理极值问题中的应用

 例谈导数在求物理极值问题中的应用
  “导数与微分”已列入高中数学教学大纲，将成为高考的热点之一。高中物理教学大纲中明确指出“应用数学处理物理问题的能力”是物理教学的一项重要内容，是高考能力考查的重要组成部分。为了体现数学学科的工具性和实用性，加强学科间的渗透，并由此强化对学生的能力考查。本文仅仅举几例说明导数在求物理极值问题中应用。
 例1 一辆小车在轨道上行驶的速度为可达50km/h，在轨道外的平地上行使速度可达40km/h，与轨道的垂直距离为30km的处有一基地，如图1所示，问小车从基地出发到离点100km的处的过程中最短需要多少时间（设小车在不同路面上的运动都是匀速运动，启动时的加速时间可忽略不计）？
 解析  如图1所示，设段的距离为则小车走完全程所用时间可表示为：
 
 求的导数得
 令即，解得。
 当时，；当时时，，（左负右正）。
 因此当时，时间有最小值，即
 
如图2所示电路中，电阻可变电阻，电源的电动势为，内电
阻为，求为多大时，电源的输出功率最大？最大值是多少？
   解析  据功率公式及闭合电路欧姆定律得，求导得，   
  令，解得，或（舍去）。当时，；当时，（左正右负）。因此当时，有最大值，即 。
在电场强度为的水平匀强电场中，以初速
度为竖直向上发射一个质量为、带电量为的小球，求小球在运动中具有的最小速度。
  解析  运用运动合成的知识
求解。如图3所示，小球在水平方向上做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向上做匀减速运动，取如图3所示的平面坐标系，设经过时间，小球的分速度分别为
       且 ，
     则小球在时刻的合速度为
    
     设，对求导得
    ，
    令，解得 。当时，；当时，。   （左负右正）故当时，有最小值，即
    
    故速度的最小值为
     ，即 。
    应用导数知识求物理极值的目的在于拓宽学生的解题思路，开拓视野，展示物理和数学的密切关系，提高学生应用数学知识解决物理问题的能力。

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