一道斜面静摩擦力错题剖析
在水平桌面M上放置一块正方形薄木板abcd, 在木板的正中点放置一个质量为m的木块, 如图1所示. 先以木板的ad边为轴, 将木板向上缓慢转动, 使木板的ab边与桌面的夹角为θ, 再接着以木板的ab边为轴, 将木板向上缓慢转动, 使木板的ad边与桌面的夹角也为θ(ab边与桌面的夹角θ不变). 在转动过程中木块在木板上没有滑动. 则转动以后木块受到的摩擦力的大小为( )
A. B.
C. D.
[存在的问题]
⑴此题所给的四个选项均不正确.
原答案认为B选项正确. 可以用特殊值法证明其错误. 当时, 代入式中, 出现静摩擦力等于重力情况, 而实际情况是静摩擦力小于重力, 最后的斜面并不是垂直于桌面.
⑵慎用力的合成与分解的“等效法”解此题.
在原答案中给出的提示是: “木块受到的摩擦力可以看成是木块沿ad 方向受到的摩擦力与ab方向受到的摩擦力的合力”. 即第一次翻转后静摩擦力为, 第二次翻转又获得静摩擦力, 且f1与f2相互垂直, 其合力为.
笔者认为上述解法是错误的. 关键是实际上f2 的大小与f1的大小不相等.
[正确解析]
方法一：等效法
如果把桌面称为水平面, 第一次翻转后abcd所在的平面称为斜面, 那么第二次在斜面上翻转θ角所增加的侧向静摩擦力应为, 与第一次在水平面上翻转θ角所产生的静摩擦力f1大小不相等, 第二次翻转时的“等效重力”大小为, 因此最后的摩擦力.
方法二：向量法
要想求出最后斜面上的静摩擦力, 实际上只须知道最后斜面与水平面之间的夹角α, 即得. 可将面与面之间的夹角求解, 转化为其法向量与法向量间的夹角求解.
如图2所示, 设为水平面的法向量; 为第一次转θ后斜面的法向量; 为第二次转θ后斜面的法向量. 最后所得的斜面与水平面间的夹角就是与间的夹角α.
在、上分别取点P、Q, 使得线段OP、OQ在Z轴上的投影相等且为b，两次翻转的角度相同为θ, 因图形具有对称性, 它们分别在x轴和y轴上的投影也相等且为a.
则OP = (a, o, b), OQ = (o, a, b), .
由两向量间的夹角公式得
[思考与启示]
⑴用物理中的“等效法”解题, 有时快捷方便, 但思维跳跃性很大, 严密逻辑推理不够, 学生理解有困难, 如果对物理本质分析不透，时常会出现假想的“等效”错误. 该题在很多复习资料中出现, 从命题人本意及答案提示都可以看出是“等效法”.
⑵该题是数理结合的好题，用数学中的平面的法向量可以很方便求解，学生也很容易理解接受, 能培养学生利用数学工具解决物理问题的能力. 也是值得物理教师更多关注的解题方法.
⑶进一步分析还可以得到, 若两次转动的角度不同, 分别为θ1和θ2, 此时静摩擦力. 很显然, 无论θ1,θ2为何值, 均有成立, 符合实际情况. 例如, θ1=60°,θ2=30°,则.