摘要: 首先对两种不同类型的幅度量化杂散信号进行了描述和时域分析，然后用离散傅里叶变换法着重对无相位舍位情况下的幅度量化杂散信号进行了频谱仿真，得到了一些关于其频谱特征和杂散水平的规律性结论，这些结论对DDS的工程应用有重要的指导作用。
关键词: DDS； 杂散； 背景噪声； DFT
An Analysis of the Background Noise of Direct Digital Synthesizers
Abstract: In this paper, two different kinds of spurious signals generated by the amplitude truncation are formulated and their waveform characters are briefly analyzed. Then, the frequency spectra of the amplitude-truncation spurious signals without the presence of phase truncation are emphatically simulated with the DFT method and some important conclusions are achieved, which are instructive to the application of DDS.
Key words: DDS； spurious signals； background noise； DFT
引言
直接数字频率合成（DDS）是近些年迅速发展起来的一种新的频率合成技术，它具有频率转换速度快、频率分辨率高、输出相位连续、相位噪声低、频率稳定度高等突出优点，因而在各种通信系统中得到了越来越广泛的应用。但是，DDS的全数字结构也使得它有较大的输出杂散，这一缺点限制了其进一步的应用和发展，当前，杂散分析是DDS研究的一个重点。DDS的杂散有幅度量化、相位舍位、DAC的非理想特性等三个来源。由于幅度量化杂散（也称作背景噪声）信号的幅度通常远小于由相位舍位和DAC误差引起的杂散信号幅度，因而一直没有受到足够的重视，对幅度量化杂散的分析目前尚不多见，但是，幅度量化杂散作为三大杂散之一，对其进行系统分析具有重要的理论和工程上的意义。本文对幅度量化杂散信号分别从时域和频域进行了分析，得到了一些对DDS的应用有实际指导作用的规律性结论。
1 幅度量化杂散信号的时域分析
1.1 DDS的工作原理
DDS的工作原理框图如图1所示:
图1：DDS的工作原理框图
由原理框图可知，DDS由相位累加器、只读存储器ROM、数模转换器DAC及低通滤波器LPF等主要部分组成。图中K为频率控制字，N为相位累加器的位数，fc为时钟频率，M为相位累加器对ROM的寻址位数，L为二进制表示的ROM输出的幅值位数，f0为输出频率。DDS的工作过程为：频率控制字K在每一个时钟周期与相位累加器累加一次，得到的相位值被送到ROM中对其进行查表，ROM将相位值转换为与之对应的正弦幅度值，该数字化的幅度值序列经数模转换和低通滤波后得到所需的输出频率f0 。f0由fc和K 共同决定，它们之间的关系为：
f0 = fc· K
最小频率分辨率为：
= fc
由工作原理可知，DDS的杂散信号有三个来源：一、相位舍位。为了得到很高的频率分辨率，相位累加器的位数N通常做得很大，但由于受ROM存储能力的限制，用来寻址ROM的位数M要小于N，因而会引入相位舍位误差。二、幅度量化。任意一个幅度值要用无限长的比特流才能精确表示，而实际中ROM的输出位数L是个有限值，这就会产生幅度量化误差。三、DAC的非理想特性。DAC的有限分辨率、非线性特征及转换速率等非理想转换特性会影响DDS输出频谱的纯度，产生杂散分量。在DDS相位舍位杂散的分析上，国内外提出了杂散信号模型法和波形分析法，并已得出了较为成熟的结论，而关于幅度量化杂散方面的结论目前尚嫌不足，对幅度量化杂散的分析也就显得很有必要。
1.2幅度杂散信号的描述与时域分析
为了便于分析，首先定义：
且要求式中的和是互质的，于是有。根据相位累加器的工作原理，该DDS可以等效成一个相位累加器位数为，频率控制字为的DDS（为奇数）。等效后DDS的相位累加器舍去位数为B' = B－(B为实际DDS相位舍位的位数)。当 = m·（m为整数）时，B' ≤0，此时不存在相位舍位。
设时钟周期为Tc ，当不存在相位舍位时，在t = n Tc时刻，均匀量化条件下幅度量化杂散信号为：
存在相位舍位时，在t = n Tc时刻幅度量化杂散信号为：
相位舍位杂散信号为：
由上，幅度量化杂散信号在不同情况下可归结为和两种类型，它们都在区间(-，)上取值，通常远小于相位舍位杂散信号的幅值。由（1）式和（2）式可以看出，和是两种特性不同的杂散信号。的特点是周期长，能量在频域上分散；为了便于计算其周期，可把（2）式改写为如下形式：
其中为相位舍位误差信号：
由（4）、（5）式可知, 的周期V = ，当为奇数时，V = （的典型值为32，48）,此时的频谱在区间[0，fc)上有根谱线，表现为背景杂散。由于V值很大，要想精确求出每根谱线的频谱系数需对作V点的离散傅里叶变换(DFT)，这是不现实的。分析时通常是将它看成是均匀分布的白噪声，用统计方法得到总信杂比为：
同相比，的周期要小得多，它对应的频率控制字为K = m·，其周期W = = 。可见，的频谱在区间[0，fc)上至多有根谱线（目前DDS芯片中M值的范围为8至15），其杂散能量较集中，可以通过作W点的DFT精确求出每根谱线的频谱系数，下面就对进行分析。
2 无相位舍位情况下幅度量化杂散信号的DFT分析
2.1 e（n）的DFT仿真
由于的周期W相对较小，对其作W点的离散傅里叶变换，精确分析其频谱是能够做到的。我们通过快速傅里叶变换（FFT）对的频谱进行了仿真，通过分析仿真结果得到如下结论：
一、e（n）的频谱特征
的频谱中只含奇次谐波，不含偶次谐波。而且，其能量在频域上呈集中分布，能量最大的杂散频点集中在输出频率f0最小的几个奇次谐波点处，即3f0，5f0，7f0……处。另外，的总杂散能量以及能量最大的杂散频点处的能量与X所取的具体值无关，它们是由L、I值决定的。进一步仿真还可以看出，的杂散总能量受I值的影响较小，主要由L值决定。
图2是在L =8、I =14、X =1171的条件下得到的的仿真频谱图。图中H（ω）为的频谱函数，ω为数字频率，它在一个频谱周期[0，2π]上取值，fc对应的数字频率为2π，f0对应的数字频率为π/7。从图中可以看出的频谱特征。
图2： e（n）的仿真频谱图
表1给出了不同I、L值情况下的总能量对应的信杂比。可以看出，杂散总能量基本上与I无关，主要由L决定。
表1：不同I、L值情况下的总信杂比(dB)
I
L 8 10 13 15
8 50.11 49．60 49.73 49.76
10 61.95 62.00 61.89 61.90
12 73.96 73.99 73.96 74.00
二、初始相位对e（n）谱值的影响
在的表达式中，我们假设了初始相位P为零；当它不为零时，等效后的初始相位为P = P/，它可能是整数，也可能是小数。当P 是整数时，各次谐波谱线的频谱系数模值同P 的具体取值无关；当P 是小数时，它对各次谐波谱线的频谱系数模值影响很小。仿真结果如表2:
表2: 初始相位不同时各次谐波谱线的频谱系数模值(10-5)
L =12、I =10、X =111
P
f 0 0.125 0.25 0.5 77
f0 7.80 8.10 7.66 7.81 7.80
3f0 2.59 2.62 2.67 2.29 2.59
5f0 1.65 1.57 1.59 2.12 1.65
2.2 仿真结论的理论验证
根据的表达式，并由X为奇数可以得出，在一个周期中前后两个半周期的对应值互为相反数，即=－，也就是说，是一个奇谐序列，因奇谐序列只含奇次谐波，故的频谱中只含f0 /，3f0 /，5f0 /…（－2）f0 /，f0 /，（+2）f0 /……等奇次谐波分量(f0 /是基频)。
另外，等效后的DDS在一个周期中的个相位采样值只能是的整数倍，即仅在，2·，3·……·中取值，且每个值只能被取一次，只是当X值不同时，取值的顺序有所不同；相应地，在一个周期内的个取值也是确定的，X只决定取值顺序，因而，X值的变化不影响的总能量，它是由I和L决定的。还可以进一步证明，在I和L确定的情况下，当X不同时，频谱中一个周期内的根谱线是一一对应相同的，只是谱线的分布有所不同。
至于等效后的初始相位P 对频谱的影响，根据上面分析，当P 是整数时，一个周期中的个相位采样值仍只能是的整数倍，而且在I、L和X的值都确定的情况下，在一个周期内的个取值以及值的排列顺序也都是确定的，只是当P 的值不同时，序列的起始值是不同的，这种起始值的不同相当于信号在时域上的平移，根据时频对应关系，时域平移不影响频谱系数的模值。当P 是小数时，一个周期中的个相位采样值不再是的整数倍，而是随P 值变化的，相应地，的频谱也会随P 的变化而有所不同。
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