高斯《算数研究》同余理论历史研究(二)

究引发出许多重要成果。这是选择这两个主题的原因。
 数论史的研究，国内外有很多研究成果，据作者已掌握的资料看，其中以书籍形式出现的主要有以下几种：
 狄克森(Leonard Eugene Dickson, 1874-1954) 的《数论史》（History of Theory of Numbers(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)）详尽列举了1950年代以前数论学家的研究成果，是一本重要的数论历史研究文献，但其中没有专门研究二次互反律。
 李文林主编的《数学珍宝——历史文献精选》中节录了丢番图的《算术》，费马，欧拉等人的部分成果，《算术研究》同余理论的第一节的部分内容，以及高斯关于二次互反律的第三个证明。
 韦依（André Weil，1906-1998）的“Number Theory:An Approach Through History from Hammurapi to Legendre”，结合现代术语对数论的部分内容（以费马和欧拉的工作为主）进行了历史研究。
 Franz Lemmermeyer的《互反律：从欧拉到艾森施坦因》（Reciprocity Laws:From Euler to Eistenstein）介绍了二次互反律但主要是研究高次互反律的发展历史。
 吴文俊主编的《秦九韶与<数书九章>》是一部范文集，收录了31篇优秀范文，是中国剩余定理的重要研究文献。
 这些书籍和范文对数论史的研究起了很大的推动作用，但都没有专题讨论高斯《算术研究》的同余理论。
 由于水平和资料有限，本范文参考文献大多为英、中资料，在此基础之上，主要对费马小定理和二次互反律作一历史研究，希望能给出其发展的一个清晰脉络，有助于从历史的角度对这两个主题有深刻的认识和理解。
 
1.2高斯生平简介
 高斯1777年4月30日生于德国不伦瑞克的一个工匠家庭,1855年2月 23日卒于哥廷根。1784年高斯进入圣.凯瑟琳小学，幸运的是，布特纳(J.G.Büttner)是一位称职的好老师。布特纳的助手巴特尔斯（M.Bartels，罗巴切夫斯基的老师）是一位数学爱好者，比高斯大八岁，经常和高斯讨论数学问题，因此，高斯在小学时就打下了坚实的算术基础。
 1788年高斯进入预科学校，在这里，高斯掌握了当时科学研究的通用语言拉丁语。少年高斯的天赋引起了当时不伦瑞克的统治者费迪南德（Carl Wilhelm Ferdinand）公爵的注意，1791年，不伦瑞克卡罗琳学院的教授齐默曼（E.A.W.Zimmermann）向费迪南德公爵引荐了高斯，公爵决定资助高斯完成全部学业。
 1792年，高斯进入不伦瑞克的卡罗琳学院学习。由于经济上的独立，使高斯能全身心投入到学习中去。在三年的学习期间，高斯阅读了牛顿（Isaac Newton,1643-1727），欧拉，拉格朗日（Joseph Louis Lagrange,1736-1813），雅各布.伯努利（Jacob Bernoulli,1654-1705）等人的数学著作,对多个数学问题进行思考，并得出许多重要结论。1792年，考虑了欧几里得平行公设问题以及素数分布问题，给出一个素数定理的猜想；1794年发现了算术-几何平均与幂级数的联系，同一年发现了现在数理统计学中最常用的工具最小二乘法；1795年，发现了二次互反律，但没给出证明。
 1795年，高斯离开故乡进入哥廷根大学（但公爵更希望能够他去本地的海尔姆斯泰特（Helmsted）大学），结识了数学教授卡斯特纳（W.Kästner）,年长他两岁的波约（Wolfgang von Bolyai），他们主要研究几何基础。就在这一年，高斯解决了一个两千多年悬而未决的难题：正多边形的尺规作图问题，给出可用尺规作出的正多边形的条件。从此高斯决定献身科学，迎来了他第一个创作高峰。
 1796年4月8日，高斯得到二次互反律的第一个严格证明。
 1798年秋高斯离开了哥廷根回到不伦瑞克。哥廷根的三年时间里，高斯几乎已经形成了他以后二十五年发表的许多重要成果的基本思想
 1799年高斯以他的博士范文“单复变量有理整函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明”（Demonstratio nova theorematis omnem functionem algelraicam rationalem integram unius variabilis in factores reals primi vel secundi gradus resolvi posse，即代数基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)的证明）获得海尔姆斯泰特大学的博士学位。此后他又给出代数基本定理的三个证明。在这些证明中，高斯着眼于代数方程根的存在性，这个方式开创了探讨数学中整个存在性问题的新途径。
 1801年《算术研究》正式出版，这部著作早在四年前就已经完成。
 1801年初，意大利西西里岛天文台台长皮亚兹（G.Piazzi, 1746—1826）发现一颗小行星，但却又失去了它的踪迹，人们将其命名为“谷神星”(Ceres)。高斯根据皮亚兹的观测数据，运用自己创造的行星椭圆轨道计算理论，计算出该行星的运行轨道，并指出它将何时再次出现。1801年12月7日夜，德国天文学家扎赫（F.Zach）在高斯预言的时间和地点，用望远镜再次发现“谷神星”。
 《算术研究》和“谷神星”预报使高斯在科学界一举成名。1802年初，高斯被俄国圣彼得堡科学院将聘为外籍院士，并获得邀请出任圣彼得堡天文台台长，但由于多方面原因高斯仍留在了家乡。
 1803年6月高斯访问了奥尔伯（W.Olbers），后者建议高斯出任正在筹备中的哥廷根天文台台长，但未能成行。
 1805年10月9日，高斯与约翰娜（Johanna Osthoff, 1780-1809）结婚。1806年，高斯的资助人费迪南德公爵在与法军决战中战死。出于经济上的考虑，1807年，高斯出任哥廷根天文台台长，从1807年到1855年逝世，他一直担任哥廷根大学教授兼哥廷根天文台台长。1809年10月，妻子在生第三个孩子时难产去世。1810年8月高斯与约翰娜的密友米娜（Minna Waldeck, 1788-1831）成婚。
 1809年，高斯的第二本巨著《天体沿圆锥曲线绕日运动的理论》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium）一书正式出版，一共两卷。第一卷主要讨论微分方程，圆锥曲线，椭圆轨道；第二卷主要讨论了在各种观测情况下，如何计算行星轨道的方法和天体摄动理论。这部著作给高斯赢得巴黎科学院“优秀著作和最佳天文观测奖”。高斯对天文学理论的贡献以1818年发表的范文“确定行星对任意点的引力，假定行星质量按下述比例均匀分布在它的整条轨道上，即每一部分轨道上的质量正比于行星通过该段轨道所用的时间”(Determinatio attra-ctionis quam in punctum quodvis

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