摘要
高斯的《算术研究》是数论史上的一部经典著作，它的出版标志着近代数论研究的正式开始。同余理论是初等数论的核心内容之一，蕴含着大量的数论所特有的思想、概念和方法。国内外系统研究高斯同余理论的资料比较匮乏，一些相关论述大都出现在综合性的书籍中，倾向于按照现代数学的习惯给出一般性的解释，且多为简要性介绍，读者难以了解其精髓所在。鉴于《算术研究》在数论发展史上的重要性以及同余理论在初等数论中的核心地位，本文重点研究费马小定理和被高斯誉为“黄金定律”的二次互反律的起源和发展。本文主要做了以下工作：
（1）首先回顾了高斯之前的数论研究状况，在系统分析高斯的科学与数学成就的基础上，探讨了《算术研究》出现的数学背景和高斯的同余理论；
（2）通过对原始文献的系统解读，深入分析了费马小定理发现发展的历程以及在素性检验中的重要作用，指出《算术研究》前三节是高斯在总结并发展了前人对该定理研究的基础上形成的，并揭示了费马小定理在初等数论定理证明中的核心地位；
（3）以二次互反律的两个主要来源为线索，详细考察了费马，欧拉，拉格朗日，勒让德，直到高斯的相关工作，揭示了该定律对十九世纪数论发展的巨大推动作用。通过原始文献的深入分析，研究表明：一般互反定律的寻求可能是代数数论发展的最主要动力，而通常文献中主要强调了费马大定理的作用。
关键词：高斯，算术研究，同余理论，费马小定理，二次互反律
目录
第一章 绪论……………………………………………………………………... (1)
1.1引言………………………………………………………….…………………..(1)
1.2高斯生平简介…………………………………………………………………...(3)
第二章 《算术研究》内容简介………………………………………………(6)
2.1一般同余及一次同余…………………………………………………………...(6)
2.2幂剩余……………………………...……………………………………………(8)
2.3二次剩余………………………………………………………………………...(8)
2.4二次型及其应用….……………………………………………………………..(9)
2.5分圆问题……………………………………………………………………….(11)
第三章费马小定理…………………………………….. ……………………...(13)
3.1费马小定理的发现……………………………………………………………(14)
3.2费马小定理的证明及推广……………………………………………………(16)
3.3费马小定理与素性判别………………………………………………………(20)
第四章二次互反律的起源及发展………………………………………….(26)
4.1费马之前的数学家与二次互反律有关的工作………………………………(27)
4.2费马的工作……………………………………………………………………(27)
4.3欧拉的工作……………………………………………………………………(32)
4.4拉格朗日的工作………………………………………………………………(34)
4.5勒让德的工作…………………………………………………………………(36)
4.6高斯的工作……………………………………………………………………(39)
4.7二次互反律的发展……………………………………………………………(41)
结语…………………………………………………………..……………………(45)
参考文献…………………………………………………………………………(47)
第一章 绪论
1.1引言
数论可以说是最古老的数学分支之一，主要研究整数的性质及其相互关系。
古希腊人对数论的发展做出了重要贡献。从毕达哥拉斯（Pythagoras,约前560-约前480）时代开始，人们就注重发掘数的神秘关系，其宗旨就是“万物皆数”。在欧几里得（Euclid,生平不详）的《几何原本》(Elements)里，第七、八、九卷讨论的是初等数论，其中就有著名的算术基本定理，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数等。后来，丢番图(Diophantus，生平不详)在其《算术》（Arithmetica）中又研究了大量特殊的不定方程，但丢番图的研究停留在算术阶段，缺乏数论特色。
我国古代，许多数学著作中都有关于数论内容的论述，比如求最大公约数、整勾股数，著名的中国剩余定理等等。
古希腊数学衰落之后，经过了一千多年的沉寂，黑暗时期过后，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci,约1175-1250）的《算经》（Liber abbaci），标志着数论研究逐渐开始复苏。
文艺复兴时期几乎所有的代数学家都在数论方面提出一些猜测，或指出一些事实。但近代数论的起源应该归功于法国数学家费马（Pierre de Fermat,1601-1665），正是他广泛而可观的工作给后来的数学家指明了研究的方向。
到了十八世纪，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，1707-1783)研究了费马提出的所有猜测包括著名的费马小定理和费马大定理，他的一系列成果奠定了近代数论作为一个独立数学分支的基础。法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre,1752-1833）在1785年发表的范文“不定分析的研究”（Recherches d’analyse indéterminée）中第一次给出了二次互反律的确切公式，引入了著名的“勒让德符号”。
可以说，十九世纪之前数论的研究处在一种无系统的状态之中，几个优秀的数学家也获得了一些杰出但却是零散、孤立的结果。
1801年，年仅24岁的高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)出版了巨著《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae），他把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和研究的方法进行了分类，还引进了新的方法。[1]《算术研究》是数学史上为数不多的经典著作之一，它的出版标志着数论研究的全新时代的开始。因此，有必要对《算术研究》进行系统的历史研究，但由于其内容博大精深，故只对其中同余理论的两个主题进行讨论。
《算术研究》主要包含了三个方面的内容：同余理论，二次型理论以及分圆理论。
同余概念的引入简化了数论中的许多问题，同余理论是初等数论的核心内容之一，其中蕴含着大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现是数论成为一个独立的数学分支的标志。中国剩余定理（Chinese remainder theorem），费马小定理（Fermat’s little theorem），二次互反律（Quadrantic riciprocity law）构成了同余理论的基本框架。费马小定理是初等数论的基本定理，在定理的证明中起着核心地位；二次互反律反映了二次剩余特征的奇妙性质，对它的研