“免费”FIR数字滤波器的MATLAB实现(一)

FIR数字滤波器的MATLAB实现

 

 

1．FIR数字滤波器的基本结构

 

一个数字滤波器可以用系统函数表示为

 

                     （1.1.1）

 

直接由此式可得出表示输入输出关系的常系数线性差分方程为

 

              （1.1.2）

 

可以看出，数字滤波器的功能就是把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。

 

有限长单位冲激响应（FIR）滤波器有以下几个特点：

 

（1） 系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零；

 

（2） 系统函数H(z)在︱z︱>0处只有零点，有限z平面只有零点，而全部极点都在z=0处（因果系统）；

 

（3） 结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。

 

设FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为一个N点序列，，则滤波器的系统函数为

 

                             （1.1.3）

 

就是说，它有（N-1）阶极点在z=0处，有（N-1）个零点位于有限z平面的任何位置。FIR滤波器有以下几种基本结构。

 

 

1.1．横截型（卷积型、直接型）

 

    系统的差分方程表达式为

 

                                      （1.1.4）

 

很明显，这就是线性移不变系统的卷积和公式，也是x(n)的延时链的横向结构，如下图所示

 

 

 

 

  x(n)                                 

 

 

        h(0)    h(1)    h(2)        h(N-2)           h(N-1)

 

                                                                y(n)

 

 

                   图1.1.1 FIR滤波器的横截型结构

 

1.2．级联型

 

将H(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式

 

        （1.2.1）

 

其中表示取N/2的整数部分。若N为偶数，则N-1为奇数，故系数中有一个为零。这是因为有奇数个根，其中复数根成共轭对，必为偶数，必然有奇数个实根。

 

 

 x(n)                                                   y(n)

 

                                     

 

      

 

                                

 

 

          图1.2.1 FIR滤波器的级联型结构（N为奇数）

 

这种结构的每一节控制一对零点，因而在需控制传输零点时，可以用它。但是这种结构所需的系数（i=0,1,2;k=1,2,…,[N/2]比卷积型的系数h(n)要多，因此所需的乘法次数也比卷积型的要多。

 

1.3．频率抽样型

 

把一个N点有限长序列的z变换H(z)在单位圆上作N等份抽样，就得到，其主值序列就等于h(n)的离散傅立叶变换H(k)。用H(k)表示H(z)的内插公式为

 

                             （1.3.1）

 

其中级联的第一部分为

 

=                                       （1.3.2）

 

这是一个FIR子系统，是由N节延时单元构成的梳状滤波器，令

 

==0

 

则有

 

 

，  0，1，…,N-1

 

即在单位圆上有N个等间隔角度的零点，它的频率响应为

 

                  （1.3.3）

 

因而幅度响应为

 

 

相角为

 

 

                              

 

 

     

 

                              …

 

 

其子网络结构及频率响应幅度如图1-3所示。

 

 

       x(n)                                            y(n)

 

                  

 

                        图1.3.1 梳状滤波器结构

 

级联的第二部分为

 

 

它是由N个一阶网络并联组成，而这每一个一阶网络都是一个谐振器

 

                             （1.3.4）

 

令的分母为零，即令

 

 

可得到此一阶网络在单位圆上有一个极点

 

 

也就是说，此一阶网络在频率为

 

 

处响应为无穷大，故等于谐振频率为的无损耗谐振器。这个谐振器正好于与梳状滤波器的一个零点(i=k)相抵消，从而使这个频率（）上的频率响应等于H(k)。这样，N个谐振器的N个极点就和梳状滤波器N个零点相互抵消，从而在N个频率抽样点（，k=0,1,…,N-1）的频率响应就分别等于N个H(k)值。

 

N个并联谐振器与梳状滤波器级联后，就得到如图1-4的频率抽样结构。频率抽样结构的特点是它的系数H(k)就是滤波器在处的响应，因此控制滤波器的频率响应很方便。但是结构中所乘的系数H(k)及都是复数，增加了乘法次数和存储量，而且所有极点都在单位圆上，由系数决定，这样，当系数量化时，这些极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消（零点由延时单元决定，不受量化影响）。如果极点移到z平面单位圆外，系统就不稳定了[4]。

 

为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，可以将频率抽样结构做一点修正，即将所有零、极点都移到单位圆内某一靠近单位圆、半径为r的圆上，使系统更加稳定。限于篇幅关系，这里就不作详细介绍。图1.3.2是未修正的频率抽样结构。

 

 

 

 

 

                                     

 

                                        H(0)

 

                                        

 

                                        

 

                             H(1)

 

   x(n)                                               1/N        

 

                                                         y(n)

 

       -                   

 

                                       H(N-1)

 

                        

 

                                        

 

                              

 

图1.3.2 FIR滤波器的频率抽样型结构

 

    

 

1.4．快速卷积结构

 

根据圆周卷积的知识，我们知道将x(n)和h(n)都变成L点序列，即将点输入x(n)补L-个零值点，将点冲激响应h(n)补L-个零值点，只要满足：

 

+-1

 

则x(n)和h(n)的L点圆周卷积就代表它们的线性卷积。这样，我们就得到图1.4.1所示的快速卷积结构。

 

 

    x(n)                   X(k)

 

                                Y(k)

 

                                                   y(n)=x(n)*h(n)

 

 

                           H(k)                                

 

                  图1.4.1 FIR滤波器的快速卷积结构

 

 

1.5．线性相位FIR滤波器结构

 

    当满足h(n)= h(N-1-n),0nN。FIR滤波器具有线性相位。

 

下面对N分为奇数和偶数两种情况分别加以讨论。

 

当N为奇数时，代入线性相位奇偶条件=，可得

 

       （1.5.1）

 

 

x(n)                                      

 

 

         1        1       1             1

 

                                         

 

                                          

 

        h(0)      h(1)                      

 

                                                            y(n)    

 

           图1.5.1 N为奇数时线性相位FIR滤波器的直接结构                                                   

 

 

当N为偶数时，代入线性相位奇偶条件=，可得

 

                     （1.5.2）

 

   x(n)                                    

 

     

 

           1     1    1              1      1

 

 

                                                                      

 

     h(0)    h(1)   h(2) …            

 

                                                        y(n)

 

          

 

图1.5.2 N为偶数时线性相位FIR滤波器的直接结构

 

                       

 

由以上流图看出线性相位FIR滤波器结构比一般直接型结构可以节省一半数量的乘法次数。

 

除了上述的各种结构，还有一种新的结构形式，即格型（Lattice）结构。事实证明：① 由于它的模块化结构便于实现高速并行处理；② 一个m阶格型滤波器可以产生从1阶到m阶的m个横向滤波器的输出性能；③ 它对有限长的舍入误差不灵敏。由于这些优点，此结构在现代谱估计、语音信号处理、自适应滤波等方面得到了广泛应用[4]。限于篇幅关系，这里就不做详细介绍了。