其中，对于全部的1求和，只有当参数时坐标矩阵元不为零，因此得到
亦即
因此，谐振子的能级以为间隔，最低能级是
MATLAB仿真结果
线性谐振子的前六个本征函数
上图为线性谐振子的前六个本征函数，图中纵轴横线表示具有相同能量的经典线性谐振子的振动范围。
有限方势阱前六个本征函数
上图为有限方势阱的前六个本征函数，图中纵轴横线表示具有相同能量的经典线性谐振子的振动范围。
参考文献：
1．周世勋，量子力学教程，北京-高等教育出版社，1979：38-42
2．曾谨言，量子力学，北京-科学出版社，1987：45-51
3. 周丰，定态薛定谔方程的计算机解法，武汉交通职业学院学报，2005，7（2），77-80
4. 封国林等，试用矩阵连分法数值求解薛定谔方程，江苏农学院学报，1996，17（4），103-108
5. 马文淦 编著，计算物理学，科学出版社，2005，P196-201，244-250
6．王肇庆、佘守宪、苏惠惠，谐振子薛定谔方程的简单解法，大学物理，1996，15（8）：19-21
附录：
程序运行环境：MATLAB7.0
MATLAB源程序：
function f = schrodinger()
%% 对一些常数的定义
me = 9.10938188e-31;
eV = 1.60217646e-19;
h = 6.626068e-34;
hbar = 1.05457148e-34; % hbar=h/2/pi
% 定义宽度和格点数
a = 10e-9; % 长度
n = 128; % 分离数
z = linspace(-a/2,a/2,n); % 线性等分
dz = a/n; % 各点空间
%% 可能的矩阵
%为有限方势阱====================================
%V0 = 0*eV;
%V = -V0*ones(n,1);
% 线性谐振子 ==================================
K = 1;
V0=1*eV;
V =V0+1/2*K*z'.^2;
pmatrix = spdiags(V,0,n,n); % 创建稀疏矩阵
%% 用薛定谔矩阵求波函数
vector = zeros(n,3);
vector(1:n,1) = -hbar^2/(2*me)/dz^2;
vector(1:n,2) = 2*hbar^2/(2*me)/dz^2;
vector(2:n,3) = -hbar^2/(2*me)/dz^2;
vmatrix = spdiags(vector,-1:1,n,n);
matrix = pmatrix+vmatrix;
eignum = 6; % 设置特征值个数
% 求薛定谔方程的特征值
[eigvector, eigvalue] = eigs(matrix,eignum,0); %求指定的几个特征值
diag(eigvalue)/eV %矩阵对角元素提取、创建对角矩阵
for i = 1:eignum,
wavefunction = eigvector(:,i);
energy = eigvalue(i,i);
%将engivector常规化
wavefunction = wavefunction/sqrt(sum(abs(wavefunction.^2)*dz));
% 作图
figure(1);
subplot(eignum/2,2,i),plot(z,wavefunction);%创建子图、画波函数图
% figure(2);
% plot(z,energy);%画能量线图
end
程序运行结果：
>> schrodinger()
Iteration 1: a few Ritz values of the 20-by-20 matrix:
0
0
0
0
0
0
Iteration 2: a few Ritz values of the 20-by-20 matrix:
1.0e+018 *
1.3147
1.5308
1.8346
2.2932
3.0648
4.6360
Iteration 3: a few Ritz values of the 20-by-20 matrix:
1.0e+018 *
1.3147
1.5308
1.8346
2.2932
3.0648
4.6360
ans =
4.7476
4.0774
3.4021
2.7218
2.0365
1.3463