数控机床空间误差（几何误差、热变形误差和承载变形误差）建模，是软件误差补偿的关键技术之一[11，12]。关于几何误差建模的方法，一直是国内外学者的研究的重点，先后经历了几何建模法、误差矩阵法、二次关系模型法、机构学建模法、刚体运动学法，多体系统理论建模法几个阶段[13]：
1977年，Schultschick 用矢量表达法建立了三轴坐标镗床的空间误差模型；
1977年，Hocken用矩阵变换对坐标测量机(CMM)进行几何误差建模；
1986年，Donmez等人推导了机床的广义误差合成模型，该模型既考虑了几何误差，又考虑了热误差；
1992年，Chen得人在研究中去除了刚体运动假设，可以对非刚体误差进行补偿，而且通过标准其次坐标变换方法建立了几何误差和热误差两者的模型；
1993年，Kiridena等人用机构学推导了五坐标机床的空间几何误差模型；
2000年，Rahman等基于其次坐标矩阵建立起多轴数控机床的准静态误差综合空间误差模型，该模型还包含了几何误差、回转轴误差、热误差和机床部件弹性变形误差。
在国内，1994年天津大学章青博士利用多体系统运动学推到了任意结构机床误差建模方法；2003年北京那个工业大学的范晋伟教授使用多体系统理论推到三坐标数控机床通用几何误差补偿算法，该算法在北人印刷集团实地试验取得明显的误差补偿效果[14]。
由于机床机构复杂，工况多变，加上环境因素的影响，热变形误差早已引起人们的注意，也是补偿技术的难点之一[10]。几何误差和热误差是数控加工时的主要误差源，占数控加工总误差的70%左右。相对来说，几何误差比较稳定也比较容易测量从而便于进行补偿，而热误差的补偿却不那么容易，因为热误差的产生是一个动态过程，具有非线性、时滞等特点，用传统的方法很难对其进行补偿。
载荷误差主要体现在大型或重型机床上，如镗铣床的滑枕悬臂的下垂变形，龙门铣床主轴箱移动引起横梁变形等。综观现有文献，对误差载荷的处理方法主要有两种：一是在线测量法[15]，该方法是在机床的特定位置上安装一些标准快，通过大量的实验拟合出载荷误差与标准快的变形之间的关系，机床工作时通过测试在线检测标准快的变形，利用拟合的数学关系间接的得到载荷变形误差值。另一种是理论计算法，因为数控机床的载荷变形主要表现为结构变形和结合面变形。结构变形通常用有限元和边界元等方法计算，结合面载荷变形通常用接触变形理论来处理，利用大量的实验拟合影响结合面载荷变形的特性系数[16，17]。
本研究课题不考虑热变形误差及承载变形误差，在只考虑几何变形误差条件下，对数控机床进行建模。
1.2.2 软件误差补偿技术研究现状
国外软件补偿大体经历了一下的发展阶段[18]：
1967 年，French 和 Humphries 提出在数控程序的编程阶段解决数控机床的误差补偿问题；
1970 年，产生了以通用微机平台和误差修正算法软件为主体的软件误差补偿思想；
1977 年，由Hocken 等人首先提出了以微机平台及数控指令修正算法为主体的软件误差补偿思想，其着重应用于坐标测量机检测数据的误差修正，而在数控机床加工领域的应用还不多见；
1985 年，G. Zhang 成功的对三坐标测量机进行了误差补偿。测量了工作台平面度误差，除在工作台边缘数值稍大，其它不超过1μm，验证了刚体假设的可靠性；
1994 年末，Kiridena 和P.M.Ferreira 在其长期从事的误差补偿研究与实践经验总结基础之上，再次强调了软件误差补偿的重要性，并进一步指出通过软件误差补偿有可能获得很高的补偿精度；
1998-1999 年有关重复加工中，检测己加工工件的误差，进而通过修正刀具路线的方法，提高待加工工件加工精度为内容的软件误差补偿技术文献日益增多，反映出软件误差补偿技术具有很强的发展趋势；
在2000 年美国Michigan 大学Jun Ni 教授指导的博士生Chen Guiquan做了有意的尝试，运用球杆仪(TBB)对三轴数控机床不同温度下的几何误差进行了测量，建立了快速的温度预报和误差补偿模型，进行了误差补偿。
在我国应用极其广泛的是中低档数控机床，几何误差约占机床总体误差的70%左右，国内学者对机床几何误差也进行了深入研究：
1986 北京机床研究所开展了机床热误差和坐标测量机的补偿研究；
1997 年天津大学的李书和等进行了机床误差补偿的建模和热误差补偿研究；
1998 年天津大学的刘又午等采用多体系统建立了机床的误差模型，给出了几何误差的22 线、14 线、9 线激光干涉仪测量方法，1999 年他们还对数控机床的误差补偿进行了全面的研究，取得了可喜一定的成果；
1998 年上海交通大学的杨建国进行了车床热误差补偿的研究；
1996到2000年在国家自然科学基金和国家863计划项目的支持下，华中科技大学开展了对数控机床几何误差补偿以及基于切削力在线辩识的智能自适应控制的研究，并取得了一些成果；
在2003 年，北京工业大学范晋伟教授使用多体系统理论运动学推导出三坐标数控机床通用几何误差补偿软件，该软件在北人印刷集团实地实验取得明显的误差补偿效果。
图1.1 软件误差补偿技术流程图
这样可以修正由于机床几何运动所引起的误差，可以提高加工精度，当然机床的加工精度还受到其他因素的影响，如刀具磨损、载荷、温度、湿度等，但由于这些因素产生的误差相对于机床的几何运动误差还是较小的，本文提出的误差补偿方法的是机床几何运动误差，对于其他因素的影响没有考虑在内。
自误差补偿技术问世以来，经历了传统误差补偿、硬件误差补偿和目前日趋成熟的软件误差补偿。传统的误差补偿方法存在着设计周期长、结构复杂、笨拙、成本高、柔性差等问题，难以满足单件、小批、灵活、多变的现代生产及市场竞争要求；而硬件补偿法对数控系统又有很大的依赖性，由于数控系统的多样性和封闭性，并且开发的控制器和接口电路会影响机床的机电匹配特性等问题，严重阻碍了该项技术的应用与推广；在这种背景下，人们逐渐开始重视软件误差补偿法，该方法实现了“不使用精密加工设备的精密加工”，具有极高的性能价格比，已逐步发展成为当今提高机床加工精度的主要方法。
1.3 主要研究内容
本课题以如何提高数控机床加工精度为目的而展开的，主要针对三坐标数控机床的误差补偿问题，研究一下几个内容：
1. 分析多体系统的建立方法，对多体系统进行简单的描述，并对多体系统的低序体阵列进行补充，建立多体系统的运动模型和误差模型。
2. 数控机床是多体系统的一个特例，将多体系统运动学理论具体的应用到数控机床的误差建模中去，对机床的结构进行分析并且用机床结构二叉树来描述，建立不考虑几何运动误差的数控机床多体系统通用模型，给出工件坐标系和刀具坐标系上的给定点在惯性坐标系中实际位置的数学模型。
3．保证数控机床刀具中心的实际轨迹与待加工工件上的理论刀具中心轨迹完全一致，建立考虑几何误差影响的数控机床机构运动学模型，并且给出工件坐标系和刀具坐标系上的给定点在惯性坐标系中实际位置的数学模型，同时建立了有误差情况系的通用数控机床精密求解方程。
4．描述三坐标数控机床的几何误差，建立了ZK7640三坐标数控铣床的运动模型，同时给出了该铣床的精密加工条件方程。
5．数控机床误差分析软件的程序总体设计
采用MATLAB软件进行编程，根据ZK7640数控铣床的精密加工条件方程，分析理想条件下已知刀具路线坐标值求解数控指令坐标值，已知数控指令坐标值求解刀具实际轨迹，用迭代法求出精密加工数控指令坐标值，最后具体分析数控指令坐标值修正前后的加工误差变化，同时绘制出相应的仿真图。
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