2.4 多体系统运动模型的建立
运动学方程可分为：零级运动方程（描述位置和姿势），一级运动方程（描述速度和角速度），二级运动方程（描述加速度和角加速度），和高级运动方程（描述跃变和角跃变，即加速度的导数和角加速度的导数）。由于零级运动方程在制造系统运动误差分析中占有突出的地位，所以下面研究零级运动学方程。
根据图2-3，可得在惯性系中的矢量表达
（2-8）
式中： ——依照低序体阵列求和，且；
——含分支内任意体的位置矢量和位移矢量；
如令为体相对于R的变换矩阵，由于变换矩阵遵循传递法则，故有
（2-9）
式中：表示按低序体阵列连乘，且
典型体位置方程的矩阵表达式为：
（2-10）
式中： 为体参考点在参考系R中的位置矢量的分量阵列表达式；
，为和在中的分量阵列；
体上任意点P在R中的表达式为：
（2-11）
2.5 多体系统误差模型的建立
在有误差的情况下，多体系统理论理想表达式就不能准确的描述多体系统的运动状态。为了达到精度控制的目的，必须建立与误差条件相适应的新的多体系统的位置表达式。考虑误差后，相邻体相对运动示意图如图2-4所示。当位移为零，误差为零时，与重合。表示原点和原点间初始位置矢量，表示位置误差矢量。表示相对于的位移矢量，表示位移误差矢量。当数控机床部件发生位移时，位移既是位置增量。在位置矢量和位移量之间点增设一个坐标系，并将改写成，且定义为位置坐标系，为位移坐标系。
图2-4 有误差时多体系统中典型体及其相邻低序体
依图，根据矢量关系，可知
（2-12）
（2-13）
如不考虑方位误差,可得
（2-14）
式中 ——与相对位移间的方位变换矩阵；
——与相对位置间的方位变换矩阵，如式(2-15)；
（2-15）
式中 C——cos；
S——sin；
,,——相对于的相对位置变换矩阵卡尔丹角。
令,,表示位置方位误差。由于数控机床是较精密的设备，,,都是一个较小的值，可近似的取,,其余类推。故位置方位误差矩阵可简化为
（2-16）
又知，体相对于体的运动形式有平动和转动。当为平动时，位移变换矩阵为单位阵
体相对于体的转动主要有三种情况，绕的x轴转动α、绕体的y轴转动β以及绕体的z轴转动γ。与其相对应的变换矩阵分别是
如令表示位移方位误差，当方位误差很小时，可取其余类推。则位移的方位误差矩阵可表示为
（2-17）
当存在方位误差时，根据传递关系，则有
（2-18）
考察典型体上任意点（如图2-4所示），其在参考系中的位置方程为
（2-19）
2.6 本章小结
多体系统是对工程实际中大量涌现的多个刚体或柔体通过某种形式联结的工程对象的概括和抽象，是分析和研究机械系统的最优模型形式。任何机械系统都可以通过概括、抽象，提炼成多体系统。本章对多体系统进行了概括，描述了多体系统的拓扑结构，对多体系统中的典型体进行了物理描述，建立了多体系统的运动模型和误差模型，为三坐标数控机床的运动和误差模型的建立做了理论准备。
三坐标数控机床运动模型与误差模型建模
3.1 数控机床结构描述
数控机床由床身、工作台、溜板箱、主轴箱和刀具等组成，为了建立通用的数控机床运动模型，对各种数控机床的结构进行总体概括、分析与抽象是必不可少的工作。经过对常用的数控机床分析，可将机床机构归结为两条运动链：一条为“工件——机架”运动链，另一条为“刀具——机架”运动链。从工件（工作台）到机架之间的运动链为“工件——机架”运动链，由m个运动副串联而成；从刀具（主轴）到机架之间的运动链为“刀具——机架”运动链，由n个运动副串联而成。在进一步分析可知，数控机床各运动部件之间只有单自由度的相对运动并且有三种约束类型，分别为刚性联接、销型（回转）和棱柱型（平移）。因此，数控机床只是一类特殊的多体系统，且为开环多体系统，它没有超出一般多体系统的研究的范围，可以用多体系统运动学理论来建立三坐标数控机床的运动模型与误差分析模型。
为了对数控机床的结构进行合理、清楚的表达，这里采用有源二叉树来描述（如图3-1所示）。图中左半部代表“刀具——机架”运动链，右半部代表“工件——机架”运动链，左右两运动链用包含转轴和线性轴的二叉树表示，通过分别在左右两运动链内选择转轴和线性轴的不同组合形式，可构成不同的数控机床。该树的每个中节点有一个前驱节点和两个后继节点，树叶节点仅有一个前驱节点没有后继节点，这些节点代表了机床的不同运动部件。树根节点无前驱节点，仅有两个后继节点，树根几点代表了机床床身，它的两个后继节点分别描述了刀具分支及工作台分支这一属性。除树根节点以外的其他节点，与去后续节点的连接，均描述了其后续节点的运动属性，如回转及回转方向或平移及平移方向。这样，通过这一形象且简单的数据结构，用户可以很方便的准确定义其所使用的数控机床。
图3-1 机床结构二叉树描述
3.2 数控机床通用运动模型的建立
数控机床是一类仅有两个分支的特殊多体系统，体与体之间的链接用到单自由度的平移和销链接。虽然数控机床一般最多只有五个运动部件，但这五个运动部件的运动形式以及各部件处于哪个分支却十分灵活多变，为给出各种数控机床的通用运动模型，特提出如图3-2所示的多体系统拓扑结构模型。
图3-2中共有两个分支，每个分支各含有五个运动体，相邻体间均以六个相对自由度来建模。该模型应用于具体的数控机床时，将根据上述数控机床二叉树数据结构，将多体系统中多余的物体参数约束为零，从而达到具体数控机床的准确描述。
图3-2 不考虑几何误差的数控机床多体系统通用模型
在图3-2的模型中，“工件—机架”运动链B—W由如下体链接而成： ，其中为5个运动体，相邻体之间的运动为平动或者转动；“刀具—机架”运动链B—T，由如下体链接而成：，其中为5个运动体，相邻体之间的运动为平动或者转动。
根据多体系统理论，在无误差情况下，典型体上点P在惯性坐标系R中的位置可表示为：
(3-1)
式中 ——不考虑误差情况下，典型体体坐标系相对于惯性坐标系的实
际变换矩阵，可表示为：
式中 ——理想情况下，低序体分支中体的运动参考坐标系相对于体
的体参考坐标系变化矩阵；
——理想情况下，低序体分支中体的体参考坐标系相对于其体运
动参考坐标系的变化矩阵；
由以上分析可以得出，对于图3-2的模型中“工件—机架”运动链，典型体W（工件）体坐标系上给定点P在惯性坐标系中的实际位置表示为：
(3-2)
式中 ——典型体（工件）坐标系中给定点P在惯性坐标系R中的位置列阵；
——典型体（工件）坐标系上给定点P在工件坐标系中的位置阵列；
——不考虑误差情况下典型体W体坐标系相对惯性坐标系的变换阵
(3-3)
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