摘要
南水北调是我国当今重要任务之一，它牵涉到诸多方面。本问题是预测2010年20个城市对“南水”的需求，给出“北调”的分配规划。显然，这要求保障人民生活用水和经济发展，并争取能够适当照顾各城市经济发展的均衡性。
其中生活用水的情况有地区差异性，也必要体现出公平的原则。可以在城市间进行按某种比例进行均衡分配。
经济必须健康（均衡）、快速的发展。我们对于这样一个多目标规划的问题，通过客观实际而抽象成的一些约束，以总产值为目标函数，转化成为一个线性规划问题。
我们建立的模型，是根据上述两个基本要求来实现的。在细节上，模型中人口数量在短期内用了常数增长率的离散增长模型，而工业、综合服务业则由于产业规模的限制，使用了差分阻滞模型。
关键词
线性规划 阻滞模型
问题重述
这个问题的背景是显而易见的，中国是个缺水的国家，雪上加霜的一点在于水资源南北分配的差异非常明显。长江流域及其以南地区人口占了中国的54％，但是水资源却占了81％；北方人口占46％，水资源只有19％。[1]于是“南水北调”这半个世纪前的伟大构想成为能够解决这一问题的有效途径。它将极大缓解北方城市的供水压力，在为工业、服务业提供重要资源的同时，改善居民生活质量和城市面貌。“南水北调”给中国带来的，不仅仅是改善水资源的分配情况和巨大的经济效益，从长远看来还将带来生态和社会方面令人瞩目的效益。
“南水北调工程”是按照南方与北方缺水区之间的地形状况，制定出在长江下游、中游和上游引水的三条调水线路，形成南水北调东线、中线和西线的总体规划布局.其中中线工程建成后，预计2010年的调水量为110亿立方米。京、津、冀、豫四省市沿线20个大中城市的缺水问题将得到改善。题目中给出了各城市的基本状况的统计数据，并且生活、工业和综合服务业的用水情况和经济效益各不相同。要求依据“改善城市环境、促进经济发展、提高用水效益和人民生活水平”这个水指标的分配原则，并从保障人民生活用水和经济发展的角度且适当照顾各城市经济发展的均衡的情况下，给出2010年的调水量的分配方案。
问题分析假设
这个问题的解决有三个方面的数据需要确定，2010年南水北调的生活用水、工业用水、综合服务业用水的各个城市分配量。
“保障人民生活用水”要符合各地人均用水量的不同，当然人口数量也同样起着重要作用，那么可以按照每个城市2010年预计的人口数量与人均用水量的乘积的比例来进行分配。我们可以认为到2010年，各地人均用水量不低于2000年，即可用2000年的人均用水代替2010年的人均用水量。
工业用水与综合服务业用水的情况较复杂一些。“经济效益”的追求让我们可以做出一个目标函数为各城市工业用水调水量除以万元工业增加值用水量与其综合服务业用水调水量除以万元综合服务业用水量的和，求其最大值。“适当照顾各城市经济发展的均衡”是一个重要的约束条件，为此我们可以先求出此次调水带来的平均经济增长，让各城市的经济增长都围绕着这个平均值做不大的波动。
在最后得到分配方案之前，还需要一些中间数据。人口增长率可以在短期内视为常数，并且这也是符合这一段时期的中国国情的，据此可以估计2010年的各城市人口数量。工业和综合服务业的发展受到产业规模等因素的影响，所以必要使用阻滞模型来估计2010年的产值。万元工业和综合服务业单位产值用水10年内不可能发生很大的变化，由于已经考虑了对工业和综合服务业产生影响的很多因素中包括本地水量缺乏，故不再限定原有水量。
根据以上分析，做出如下假设：
1、2000-2010年人口数量增长率为所给常数；
2、2000-2010年工业、综合服务业产值呈阻滞增长，以线性增长所得产值为最大产值容量；
3、其间工业和综合服务业单位产值用水基本保持不变；
4、不考虑此次调水的污染和重复利用等内容。
模型建立求解
第一部分：模型建立
根据前面的假设分析，我们将人口的增长模型建立为线性增长模型，每年的人口增长率为一恒定值，通过运算即可很简单的求得2010年的人数。
而对于工业生产以及综合服务业的生产，根据题目的要求，在10年内不可能无限制的发展，以及我们对近几年来我国工业以及综合服务业的发展情况来分析，我们决定对于工业以及综合服务业的发展建立阻滞模型，产值增长率将逐年降低。
再次，通过各个权威报道对我国未来10年，20年甚至更远走向的预测，在工业，综合服务业两方面以阻滞模型来代表更加适合我国的具体国情。
第二部分：模型求解
符号定义：
符号 符号说明 单位
LWi 2010年第i个城市生活所需水量 亿立方米
T 2010年“南水北调”总水量 亿立方米
L 生活用水的总分配量 亿立方米
G 工业用水的总分配量 亿立方米
Z 综合服务业的总分配量 亿立方米
FLWi 2010年第i个城市实际分配的生活用水量 亿立方米
GWi 2010年第i个城市工业发展所需水量 亿立方米
ZWi 2010年第i个城市综合服务业发展所需水量 亿立方米
FGWi 2010年第i个城市实际分配的工业用水量 亿立方米
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