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谈谈数学问题的归类 周杰

本文ID:LW11483 ¥
数学问题的解决,是学习数学的一种重要手段。问题解决能帮助学生理解、掌握数学概念、公式,提高思维水平。但在应试教育背景下,随着解题训练愈演愈烈,许多学生只顾埋头解题,没有时间对数学问题进行归类分析,思维水平停留在机械重复、简单识记,以至于大多数老师抱怨,同一题型要做很多次才能掌握,从而师生循环陷入“题海”战术。面对这一窘迫境地,本人在实践中思考探索,对数学问题进行归类分析是有效提高解决问题能力的捷径。

谈谈数学问题的归类 周杰

数学问题的解决,是学习数学的一种重要手段。问题解决能帮助学生理解、掌握数学概念、公式,提高思维水平。但在应试教育背景下,随着解题训练愈演愈烈,许多学生只顾埋头解题,没有时间对数学问题进行归类分析,思维水平停留在机械重复、简单识记,以至于大多数老师抱怨,同一题型要做很多次才能掌握,从而师生循环陷入“题海”战术。面对这一窘迫境地,本人在实践中思考探索,对数学问题进行归类分析是有效提高解决问题能力的捷径。
一、数学问题归类的重要性
1、归类可以提高解题的正确率。
解题的正确率一直困惑着不少自认为成绩不错的同学,他们往往因为一二个漏洞而没有得到满意的分数,而且走出试场后,往往说是太马虎了,对这个问题,我思考了很多,也找了很多学生,让他们回顾当时做的思维过程,发现几种原因:一是考试赶时间,疏忽了如移项不改变正负号等。二是知识结构中有漏洞,如:知道的极限需要对进行讨论,但在具体的问题中没有落实。三是钻牛角尖。对于第二种情况,如果在类似题目后作一归类,有利于学生搞清数学知识的来龙去脉,理解数学知识及其各部分间的联系,有利于学生纠正思维过程中的错误,弥补学习中的不足,提高解题的警惕性,也就对解题的正确性有了进一步的保证。
2、归类可以避免“题海”战术。
应试教育中,“题海”战术,源远流长,是一种让学生见识大量的题目,从而达到熟悉问题的手段。大多数学生钻进“题海”中,埋头苦做,很少有学生对做过的题目作一归类,只是就题论题,造成在考试中对稍加变化的题目,感到束手无策或一知半解,甚至做过的题目也茫然无解。重视数学问题的归类,串联以前的思想方法、知识点和题型,挖掘题目中蕴涵的思想、方法,那就可以对变式问题、类似问题信手拈来,真正做到少做题目,做好题目,从而发展独立获取数学知识的能力,去适应迅速发展的社会。
3、归类可以提高解题能力。
解决问题的能力,需要通过解题活动加以培养,“学生懂得换元法,是知识;学生掌握换元法的步骤和过程,是技能;但是判断什么时候使用换元法,元不明显时,怎样构造元,则是能力了。”这种能力是学生解决问题后细细体会,琢磨把不同的问题加以区别、归类,对问题有新的认识,使学生体会知识间的有机联系,感受数学的整体意识,进一步理解数学的本质,从而才能解决其他类似的问题,提高解题能力。
归类可以完善认知结构。
数学各知识点之间存在很大的关联,有纵深方向的联系,如:二次函数、二次方程、二次不等式;也有横向联系,如:几何与代数的结合、几何与三角的结合等。学生对此种联系的认知结构有没有建立起来,在很大程度上取决于数学问题的归类,学生在数学归类过程中,去想一些问题,去认识一些问题,去思考一些问题,经过同化、顺应等心理活动过程,才能内化为自己认知结构中的东西,才能举一反三,才能使认知结构更加完善。
二、数学问题归类的基本思路
  在解决了一些数学问题之后,如何进行归类分析是学生颇感困惑的问题。这里我以《圆锥曲线》内容为例说明,期待同行们一起探讨。
知识系统的归类
 数学问题解决后,重新审视问题。看问题考查什么知识点,跟什么知识同一类。在反复对数学本质的认知过程中,提高自身的数学认识。
例如:
1、到两个定点的距离和等于定长的点的轨迹是       
椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值分别是      
3、椭圆的焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是(    )
 A          B        C          D
4、椭圆 ()的两焦点为,以为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为(    )
 A          B      C        D 
 等等,这类问题考查的都是椭圆的定义和几何性质,如何利用椭圆的定义解题的,它的几何性质又是如何在图象中体现出来的,怎样灵活运用,这么一归类总结,那么在双曲线、抛物线的学习中可以引导学生自己去发现问题,提出问题,在不同的圆锥曲线间进行类比,甚至可类似地编写题目,从而培养学生的创造性思维。
2、解题方法的归类
 在《圆锥曲线》中,求动点的轨迹方程,一般有直接法、定义法、消参法,其中消参法分得细一点还有交轨法、坐标转移代入法、点差法,但问题的关键是讲述各种方法之后,要让学生细细体会,各种方法适用的情形,对做过的问题作一归类。
 例1、过圆上任一点P作X轴的垂线PN,N为垂足,求线段PN中点M的轨迹方程。
 分析:方法一、M的变化引起P的变化,因此设M()则P(),P在圆上,,用的是坐标转移代入法。
方法二、M的变化是P引起的,P在圆上,设M(),P(),则
    (  为 参数),消参得   ,此法为一般的消参法。
 例2、已知抛物线,O为坐标原点,A、B为抛物线上两点,且满足OAOB。若OMAB,垂足为M,求M的轨迹。
 分析:M的变化是由A、B引起的,而A、B 之间存在关系;又M是直线OM与AB的交点,因此可考虑用交轨法。
 本问题归类时,会发现交轨法适用于求直线与直线,直线与曲线,曲线与曲线的交点的轨迹方程。
 例3、已知椭圆,A(4,0),过A作椭圆的割线,交椭圆于B、C,求BC中点P的轨迹方程。
 分析:方法一、P点的变化是由AB的斜率引起的,设AB的斜率为K,利用韦达定理写出P点坐标与K的关系,然后消参得P的轨迹方程。
 方法二、BC是曲线的弦,P是BC的中点,因此用弦中点点差法,考虑点在曲线上,中点坐标公式,斜率公式,消去参数,得到P的轨迹方程。
 本题如果把椭圆改为圆,则用垂经定理得到OPBC,又由圆的定义可知,P在以OA为直径的圆上。
 对这几个问题,深入思考、分析一下,对解题方法归类,特别地要揭示各种解题方法的本质精神,而不只是强调数学技巧,那么学生会深刻理解求动点的轨迹方程的几种解法,构建和发展自己的认知结构。
3、问题类型的归类
 高考中一般有一个大题是解析几何问题,这个问题常有几类:一是求曲线的方程,包括已知曲线名称求方程和求动点的轨迹方程;二是直线与圆锥曲线的问题,其中大部分是利用韦达定理,常见的还有根据题意设未知数,解方程组;三是求参数的范围,往往考虑三种情况:1)利用已知条件中参数的范围,2)利用韦达定理要满足的条件,3)利用点与曲线的位置关系;四是定值、最值问题,此类问题可利用几何意义、函数思想等方法解决。
 例1、设F(2,0)是椭圆的焦点,其相应的准线为,以F为圆心,为半径的圆与椭圆相交于A、B两点,且
求椭圆的方程;
设直线交椭圆于M、N两点,O为坐标原点,求MON面积的最大值。
 分析:本问题第一问属于已知曲线名称求方程,利用曲线的定义解答;第二问是直线与圆锥曲线相交,利用韦达定理,建立目标函数求最值。
 例2、(05年天津高考)抛物线C的方程为,过抛物线C上一点P(作斜率为的两条直线分别交抛物线C于、两点(P、A、B三点互不相同),且满足
求抛物线C的焦点坐标和准线方程
设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在Y轴上
 当时,若点,求为钝角时,点A的纵坐标的取值范围。
 分析:本问题第一问由抛物线的定义直接可知;第二问是求A、B的坐标,利用向量的坐标表示;第三问,已知,求参数的范围,从而求的范围。总体来看本问题着重于根据条件列方程和不等式,解未知数。
 解析几何问题经过如此归类后,学生们发现原来很多问题大同小异,解题觉得格外轻松。实际上,掌握了问题的实质,就可以由不同的题型演绎出千变万化的生动问题,显示出无穷的威力。
 《新课程标准》认为数学应注重本质,适度形式化,因此,我们在对数学问题归类时,要注重本质问题,使学生在理解概念、体会数学思想方法的基础上,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

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