再议数学思想和数学方法的运用 胡柳盛
摘要：数学家笛卡尔曾经说过：“若没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会象瞎子一样盲目摸索。”教学工作也不例外。刚走上岗位的新教师，工作劲头是大家有目共睹的，但我发现他们在教学中缺乏渗透数学思想和方法的意识。这么一来，学生掌握的知识是僵硬偏面的，不利于培养学生的能力，不利于提升他们的数学品质。教师要注重数学思想和方法的指导。
关键词：思想和方法，能力，效益
很多书刊以及网上的作者都时时提到数学思想和方法。《新课程标准》把数学思想和方法作为基础知识的重要组成部分，在这里明确提出，这不仅是体现义务教育的表现，也是对学生实施创新教育，培养创新思维的重要保证。作为新教师，除认真把握教材中的基础知识外，更要在理论上提升自己，作到高瞻远瞩。
一、教师首先要了解《新课程标准》的要求，重视教学方法
我们先欣赏沈文选教授的一段话：所谓数学思想，就是对数学知识的本质认识和对数学规律的理性认识。而数学方法是解决问题的根本程序，是思想的具体反映。思想是数学的灵魂，方法是行为。运用方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度时就发生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。可见思想和方法是相辅相成，不可分割的。
1．明确基本要求，并能进行分层教学。
具体的数学思想有：数形结合思想、分类思想、函数和方程思想、转化思想、整体思想、类比思想等。方法有：分类法、反证法、消元法、降次法、配方法、换元法、待定系数法等。有些方法和思想并不是很明确提出来，譬如说转化思想就是渗透在学习新知识中，运用以旧解新的手段来实现的，靠教师来总结归纳。分式方程和二元一次方程组的解法中，贯穿了由“一般”向“特殊”的转化。九年级（上）浙教版93页第20题有关蚂蚁觅食的最短路径问题就运用了将立体图行转化成平面图形的化归思想。（07年衢州市、义乌市的中考试题都有此类问题）
教师在整个教学过程中，要做到数学概念与思想方法的螺旋上升，不断深化，不宜集中一次学完，以符合学生的认知规律。拿函数来说，初中教材就是按逐步发展的程式编排的，先让学生感受到许多变化的事物是有规律可寻的，而后是体验到这些规律的寻找方法，最后是提出和运用数学思想。关于思想，不仅让学生能够领悟到这些思想的运用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。教学中，特别要注意别将要求抬得太高，不然的话，学生初次接触就会感到数学抽象难懂，高深莫测，会导致他们丧失信心。
2．从“方法”中概括“思想”，用“思想”指导“方法”
数学中许多数学思想和方法其实是一致的，不易分割。只是方法是实施有关思想的技术手段，相对来讲较具体，数学思想则是观念一类的东西，对学生而言比较抽象。因而关键是要求学生加强对方法的理解和应用，进而达到对数学思想的了解。已知x+3x-1=0 ，求3x+9x+2的值；△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，设∠A=x度，用含x的式子表示∠BOC。这一些题中都渗透了整体思想，教师在平时多引导学生去理解，去尝试这些方法，使方法和思想得以交融。又如化归思想，可以说贯穿于整个初中阶段的数学新知识的教学，具体表现为从未知到已知的转化、一般与特殊的转化、局部与整体的转化，教材中引入了学多数学方法。中考试题中更是层出不穷。通过对具体方法的学习，使学生能够住领略内含于方法的数学思想；同时思想反过来指导方法，又深化了数学方法的运用。通过以往的数学实践，将两方面紧密结合起来，教学会有很大成效，可以达到“山重水覆疑无路，柳暗花明又一村”的境界。
二、切实遵循认知规律，精心设计，统筹安排
要达到以上要求，可按下面几步实现：渗透、训练、掌握、提炼。
1．渗透。毕竟初中生年龄轻，大脑发育还没有完全成熟，数学知识学得不多，抽象概括能力也较为薄弱，如果把数学思想与方法作为一门独立的课程，是缺乏应有的基础的。因而只能把数学知识作为载体，把方法和思想的教学渗透到数学概念知识的教学中。教师把握好契机，特别要重视概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成发展过程，解决问题和规律的概括过程，让同学在过程中展开思维，从而发展他们的创新意识，形成获取、发展新知识，再运用新知识解决问题。不可一味灌输知识的结论，否则会失去渗透数学思想、方法的良机。我在复习数与式的变化规律中，巧妙地渗透了数学思想，收到了很好的效果。结合2008年举行29届奥运会，由此推算第88届奥运会在哪一年举行？又如42码的鞋子为26厘米，40码的鞋子为25厘米，有一位小孩穿17码鞋子，这鞋子长度为多少厘米？此类趣题用列算式的方式易错，而运用一次函数知识就好多了。我们一起看下题：
用n表示大正方形个数，s表示所有正方形个数，
n=2 n=3 n=4
s=3 s=7 s=11
（图1）
问题：n=100时，s为多少？
方法一：直接从图来得出结果，很多学生不容易解决。
方法二：观察数的变化，发现n每增加1，s就增加4。设s=kn+b，将n=2，s=3；n=3，s=7分别代入，求得s=4n-5。所以n=100时，s=395。这种方法就容易多了。
在渗透过程中，教师要精心设计，有机结合，在学生困惑时有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴涵于数学之中的种种数学思想和方法，切忌别死搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。学生做题是学生获取知识的重要手段，教师不能满足于课本上知识的传授，应扩展学生的思维空间，培养学生应用数学思想分析问题，解决问题的能力。比如：关于x的一元二次方程-x+2x-2=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。除用根的判别式解决外，教师还可用函数图像，利用数形结合思想来解决，让学生进一步认识到一元二次方程与二次函数之间的联系，拓展自己的视野。
2．训练。数学思想内容相当丰富，方法也有难有易，因此，必须分层深入。教师要全面熟悉三年的教材，钻研教材，多看中考试题，努力挖掘数学思想方法渗透的各种因素，多以思想方法角度作认真分析，结合学生的年龄特征，掌握知识程度，认知理解能力和可接受性能力的年龄特征由浅入深，由易到难分层次地贯彻思想和方法教学。比如教学两圆位置关系时，引导学生研究圆心距，两圆半径为具体的数时的判定方法和结果，从而归纳出一般方法，再运用方法指导具体的解题。教师分层地渗透演绎和归纳的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。
3．掌握。数学知识经过听讲，复习，解题等才能掌握和巩固。数学思想和方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须让学生建立起自我的“数学思想方法系统”，这更需一个反复训练和不断完善的过程。教师要多提供给学生训练的机会。学习非负数之和为零时，|a-1|++(c-3) =0，我建议用学生口袋的钱来“类比”。（钱的数目也是非负数。）等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高学了之后，我就布置以下问题让学生思考：（1）证明正三角形内一点到三边距离之和等于一边上的高；（2）已知三角形的三边和面积，求三角形内切圆的半径；（3）在一个直角三角形内可裁出的最大半圆的半径。通过多次重复性的演示，使学生真正理解掌握类比方法。
4.提炼。教学中要适时恰当地对数学方法加以提炼和概括，让学生有明确的印象。由于数学思想和方法分散在各个部分，而同一问题又可以用不同的数学思想和方法来解决。因此教师的分析概括至关重要。教师还要有意识地培养学生自我提炼，揣摩概括数学方法的能力，这样才能落在实处。我在教相似三角形时，编了以下一组题：
1.如图2，AB⊥BD，ED⊥BD， AC⊥EC，试证明△ABC和△CDE相似。
2.将∠B，∠D，∠ACE都改成70°呢？结果如何？
2.如图3，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF，BE=DC，试找出一对全等三角形，并加以证明。
经过以上几题的分析后，我引导学生归纳：如图4，两个等角之间插入一个等角，所得的两个三角形相似。其实这类模型中考中出现很多。学生经过归纳总结后，对此类题目颇有经验，解题也相当顺手。二次函数中常根据图像判断a，b，c的符号，我引导学生归纳出“左同右异”，即对称轴在y轴右侧时b与a异号，在y轴左侧时b与a同号，与函数图象平移时左加右减，上加下减相呼应。
总而言之，数学中渗透数学思想与方法的进程中，提高新教师的理论水平和实际教学能力，起到主导作用，同时也激发学生浓厚的学习兴趣，培养他们运用数学思想思考问题的习惯，追求简洁解题的方法，注重数学思想和方法，加强学生学法指导和解题方法指导，不搞“题海战”，切实减轻学生的负担，让他们终身受益，真正做到“授之予渔”。
参考文献：
1、《中学数学思想与方法》 沈文选 1999年
2、《数学教学大纲》
3、《数学课程标准》