以绳子构建数学模型的数学教学问题探究 胡金春
摘要：以绳子为背景，搜集百姓之用法，激发学生兴趣，构建数学模型；让学生触景生情，探究类似相关的数学问题。
关键词：绳子；模型；测量；实验；探究。
《数学课程标准》的基本理念是“以人的发展为目标，关注学生的可持续发展”。强调从学生的生活经验和已有的知识背景出发，为学生提供从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解数学知识、掌握基本技能、数学思想和方法．农村初中存在师资、生源薄弱现象，师生交谈中也经常听到学生对数学的评价：数学课是枯燥乏味的，让人昏昏欲睡。这种评价虽说有点偏激，但至少从一个侧面反映了数学教学的现状堪忧。因此，作为一个农村数学教师应在教学中结合学生的实际，设计具有激发学生求知欲望的问题情境，使学生用自己的思维方式去积极思考、主动探索有用的数学问题。下面本人就谈谈如何以绳子为载体，进行数学教学。现采撷数例，以飧读者。
搜集平民之用法，探究数学问题。
农村有句俗语：“带个人不如带根绳”。可见绳子在农村生活中，用途极其广泛，它不仅跟人们生活息息相关，而且与数学有着密切关系。
载体一：测量的妙用
农村百姓常常以一根绳子测定墙体的平直，地面的方整，测量建筑物的高度等，其实这些做法跟数学密切相关，不妨作些探究。
案例1：泥水匠在砌墙时，绳子是他们依赖的工具。墙体是否平直，两堵墙构成的角是否垂直都需要绳子帮忙。谁都知道拉紧的绳子是直的，在没有角尺的情况下，把绳子均匀分成12段，然后以3，4，5构成三角形，就可以衡量墙体是否垂直了。木工师傅制门窗、村民丈量土地是否方整，常用一根绳子在对角处拉一拉，折一折，量一量，就知道了门窗与土地是否方整了。
分析：泥水匠的做法是运用数学知识“两点确定一条直线”与“勾股定理”的逆定理。木工师傅测定门窗与村民丈量土地是运用了＂对角线互相平分且相等的四边形是矩形”的定理。教学中，教师如能把民用的知识同数学教学结合起来，就能激发学生学习兴趣，也能激起学生对数学知识的探究。
探究：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮他测出旗杆的高度吗？
载体二：编织中的对称问题
逢年过节，老百姓常以红丝绳编织出各种图案，如“中国结”以表达新年好运来。教学中，教师如能把这些图案展示给学生，同时让学生动手操作，就能让他们更好地认识和理解图形与变换,解决对称性和旋转性问题。
载体三：圈地求积问题
用一根绳子可围成各种不同的几何图形，如角、三角形、矩形、圆、扇形、椭圆等，使学生从直观上理解数学概念和计算，从而达到从直观思维向抽象思维的转化。
案例2：相传有一位老人家，拥有一大片土地，三个儿子，都长大成人，分家时都争着分地，老人家明智决定让三个儿子以智谋产，于是拿出三根长度均为L米的绳子，分别叫他们去圈地，能圈多少就给多少，于是三儿子便分头行动，老大围成一个正方形，老二围成一个圆，老三围成一个正三角形，你想知道三兄弟谁最聪明吗？
探究：（函数问题）用长为L 米的一根绳子，一面靠墙，围成一个矩形的花园，怎样围才能使花圃面积最大？若围成的不是矩形而是其他平面图形，面积是否更大些？
案例3：“拴羊觅食”问题。 （如右图）有一只羊，
用一根6米长的绳子系在房子的墙角上，绳子另一端固定
在A点，房子的周围是草地，问这只羊最多能吃多少平方
米的草？
分析：此题要让学生知道：羊吃到草的范围构建了怎样的几
何图形，再求出相应的面积。
（羊吃草的面积： π（62+42+22 ）=14π米2 ）
探究：(面积问题)如图1-1，在草地上有一个正六边形的围墙ABCDEF（不能进入）每边长6m，CD的延长线DG也是围墙，长度为19m，今有一头羊拴在D处，绳长18m，则羊能吃到围墙外______m2的草。
分析:本题是羊拴在正六边形与围墙间还是围墙外不确定，当羊拴在正六边形与围墙间，羊能吃草的面积为：π（182+122+62）=84πm2，如图1—2的阴影部分，当羊拴在围墙外，羊能吃草的面积为：π╳182+π（122+62）=192π m2如图1—3的阴影部分，故羊能吃到围墙外草的面积为84πm2或192π m2。
载体四：求腰围问题：
案例4：山民在砍柴伐木时，经常用麻绳捆扎柴木。如何对捆扎物所需绳子的长短进行估计呢？如果山民上山砍伐7根毛竹（如图1，轴截面是圆形，半径均为R），则捆扎毛竹一周的绳子的长度是多少？你不难知道围在七个圆周上的绳子长度。
探究：有一位顾客买了6罐雪碧，营业员帮他捆成如图2-1所示的矩形，但这个顾客临时改变了主意，准备再买一罐，这时营业员不解开绳子就把第7罐雪碧往里塞，你认为这营业员不解开绳子能塞进去吗？事实上，如图2—1所捆成的6罐雪碧，它的周长为12r+2πr，如果再塞一罐雪碧进去，如图2—2所示，此时周长也为12r+2πr所以可以塞进去，从而认识了两圆位置关系的一些知识。
贴近学生身边的活动，构建数学模型。
载体五：二次函数问题
案例5：（荡秋千问题） 秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（ ）（重庆中考题）
A：π米 B：2π米 C：（4/3）π米 D：4/3
分析 :本题体现了数学中的建模思想，
即根据需要将某些问题转化成数学模型
求解，把荡秋千问题转化为垂径定理的
几何模型。
如右上图，EF=BH-EG=2-0.5=1.5,OF=OE-EF=3-1.5=1.5,而OB=3,所以在
Rt△OFB中，可得∠OBF=30°,所以∠BOF=60°，∠AOB=120°，易求L弧长=2π，故选（B）。
案例6：（跳大绳问题） 你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线，正在甩绳的甲、乙两位学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处，绳子在甩到最高处刚通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示） （ ）（济南市中考题）
A:1.5m B：1.625m
C:1.66m D:1.67m
分析： 本题是一道二次函数的应用题，
它以学生熟悉的跳大绳为背景，使学生
感受到数学的应用性与趣味性，解题的关
键是求出抛物线的解析式，而学生丁的身高就是
当x=1.5米时函数y的值。设抛物线解析式为
y=ax2+bx+c由题意得A(-1,1)、B(3,1)、C（0，1.5），
所以抛物线的解析式为y= - x2+ x+ ,
当x=1.5时，y=1.625，故选(B).
载体六：统计量问题
案例7： （跳小绳问题） （2004年江苏省镇江市中考题）为了解初三文档班学生1min跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三文档生进行1min跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，可得频率分布表:
组别 分组 频数 频率
1 89.5-99.5 4 0.04
2 99.5-109.5 3 0.03
3 109.5-119.5 46 0.46
4 119.5-129.5 b C
5 129.5-139.5 6 0.06
6 139.5-149.5 2 0.02
合计 a 1.00
（1）在这个问题中，总体是_____，样本容量a=_______
（2）第四小组的频数b= ______，频率c=______
（3）若次数在110次（含110次）以上为达标，试估计该校初三文档生1min跳绳次数的达标率是多少？
（4）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？
分析：根据频数与频率的关系，可以先确定样本容量a，再求出第四小组的频数b和频率c,结合频率分布表，易知达标率和中位数的位置。 此题结合跳绳活动考查频数、频率、频率分布等概念，并由此引出中位数、达标率等问题，解决这类问题的关键是根据频数与频率、频数与样本容量的关系找出确定相关量的突破口。
载体七：三角函数问题
案例8：(放风筝问题)三月是放风筝时节,当一定长度(Lm)的绳子与地面成
角, 风筝的高度是随角度的增大而升高等设计数学问题,从而加深学生对三角函数的增减性的理解。
从学生操作实验中探索计数问题
载体八： 古代有一个数学家伏羲氏，以结绳记数，即在绳子上打一个结表示一个数。而古埃及人用带结的绳子就能拉出直角来你能说出其中的道理吗？就是把绳子均匀打12个结，将其围成三边分别是3，4，5的三角形，因为32+42=52所以这个三角形是直角三角形。
案例9： （2005年河北省）一根绳子弯曲成如图1所示的形状，当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪成5段，当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪开一次时，绳子就被剪为9段，若用剪刀在虚线a、b之间把绳子再剪（n-2）次剪刀的方向与a平行，这样一共剪n次时绳子的段数是( )
(A)4n+1 (B)4n+2 (C)4n+3 (D)4n+5
分析： 本题将等差数列与实际问题联系起来，有利于培养学生的动手操作能力和猜想能力，更能激发学生学习数学的兴趣，通过动手操作，按要求分别剪1，2，3，4刀绳子分别被剪成5， 9，13，17段，可以发现每多剪一刀，绳子便多出4段，然5，9，13，17……是一个等差数列，容易猜想出本题的结是4n+1，故应选(A)。
针对这样计数的问题，教学时引导学生探究:
探究1：（拉面问题） 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，这样捏合到第____次后拉出128根面条。（济南市中考题）
探究2：一根拉直的绳子从中剪一刀被分成两段，但是如果将一根绳子对折后再剪一刀，绳子就变成了三段，将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子就变成五段，将一根绳子对折五次后，再从中剪一刀，绳子就变成了（ ）
(A)17段 （B）33段 （C）54段 （D）65段
学科知识渗透探究
案例10：“猴子爬绳”。一根绳子穿过无摩擦力的定滑轮时，其一端悬挂着一只重10磅的砝码，绳子的另一端有只猴子，同砝码正好取得平衡。当猴子开始向上爬时，砝码将如何动作呢？（不计绳子的重量）
教学中，教师能利用学科知识整合到数学教学中，扩展学生的视野，让学生去探究：有一只猴子在拉吊桥，当吊桥拉到与水平成30°（或60°或90°）角时，绳子应拉下多长？
除上述列举之外，还有纤绳过河，遮阳篷的起放，食品盒的包装等都离不开绳子。以绳子为载体建立数学模型，在新课标考题中也时时出现。教师在教学中，能融会贯通，旁敲侧击，改变传统问题呈现信息的方式，变“直接信息”为“图形信息”，变“封闭”为“开放”。从学生日常生活中所遇到的问题出发，以贴近现实生活中的事和物为载体，结合教材渗透其他学科知识，建立数学模型，去解决实际问题。这样既激发了学生学数学的兴趣，又拓展了学生思维，真正使学生认识到数学之美，学数学的价值。
参考文献:
数学课程标准.XX师范大学出版社
李正平.现实生活中的分类问题.数理化解题研究.2006.12
曾庆丰.新课程下数学建模教学.中学数学教育.2006.12