由一道考试题所想到的数学教学方法

由一道考试题所想到的数学教学方法 安必智
 
 初二上学期期末复习阶段我选择了2007年齐齐哈尔市课改实验区中考试题中”阳光体育”问题给学生做习题。
 问题：（2007黑龙江齐齐哈尔课改试题）在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，小绳的买法共有（    ）
 A．6种  B．7种  C．8种  D．9种
 答案：A
 这是一个很有创新思想的习题，很好的体现了课改的思想，初中生有中学函数的解法，小学生有小学估算的方法，但在实际教学中，出现了一些新问题，引起了我的深思。问题归纳起来有两个方面，一是中小学数学的链接出现了短路，二是刚从初一升初二的学生，在学习了二元一次方程，一次函数，竟然不能很好的利用学过的数学模型找到问题解决的方法。
 两个同学竟为自己的解法争的面红耳赤。究其原因，诸如“让他买三样体育用品、其中大绳至多买两条、在把钱都用尽的条件下、小绳的买法”关键语段模糊不清，没有吃透。
 我又拿出了2007黑龙江佳木斯课改试题第7题，想让他们通过比较找到自己理解上的误区，然后开始问他们。
 问题：（2007黑龙江佳木斯课改试题）在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，买法共有（    ）
 A．6种  B．7种  C．8种  D．9种
 答案：D
 师：田忌赛马、乌鸦喝水、曹冲称象的故事知道吧，你们认为什么是策略。 
 （任学生用自己的话说）
 师：你们说的很好！策略就是我们常说的方式、方法。那么你们解决问题的策略使用是否恰当。
 他们依然不置可否，于是我们一起对问题中信息进行重新整理。
 师：请同学们想一想：要解决小明怎么用这30元，谁能口头列式计算？先算什么再算什么？
 生：  因为是在把钱都用尽的条件下，其实质是小绳最多可以买几条。这种情形出现在大绳买1条，毽子最少，所以由算式，可以估算小绳最多买到6条，最少买到1条。因此小绳的买法共有6种
 师：这个解答结果是否正确，谁愿意来检验一下并口答？
 （生恍然大悟，老师你这是估算啊！）
 师：估算也是一种解题策略，通过你的检验，你认为他做对了吗？   （ 学生释然）
 师：估算固然可以解决问题，不失一种方法。但你们也有更清晰的解题策略。
 于是我整理了两人的解题过程如下：
 分析：考生要会用列表的方法整理简单实际问题所提供的信息，会通过列表的过程分析数量关系，寻找解决问题的有效方法。
 解：买三样体育用品，显然都要买到，设小明小绳买条，毽子买个，因为其中大绳至多买两条，所以分两种情形。
①当大绳买1条时，则，即，由题意得，
   解得0﹤﹤
 因为、取正整数，所以只能取1、2、3、4、5、6。此时取17、14、11、8、5、2。
 方案：
大绳 1 1 1 1 1 1
小绳 1 2 3 4 5 6
毽子 17 14 11 8 5 2
②当大绳买2条时，则，即，由题意得，
   解得0﹤﹤
 因为、取正整数，所以只能取1、2、3。此时取7、4、1。
 方案：
大绳 2 2 2
小绳 1 2 3
毽子 7 4 1
 综上所述，在把钱都用尽的条件下，小绳的买法共有6种。在把钱都用尽的条件下，买法共有9种。
 （两位同学都说明白了）
 这是一组很有创新思想的习题，有小学的估算、初中的数学建模思想，二者做了很好的衔接，从知识结构上看，初中阶段的数学学习是建立在小学已学知识基础之上，是小学知识的开拓和扩展，这是不容质疑的,但是我们明显感觉到初中生的数学学习已失去了小学数学中那种数的直观性、可塑性，已初步进入抽象化、概念化、逻辑条 理化的层次，对学生记忆、理解应用、推理归纳都比小学有了较高的要求，已不再 是只要聪明就可以学会，只要勤奋就可以掌握，而是追求勤奋和思维、聪明和方法的结合,因此初中教师在教学中要注意了解学生以前 学过的知识，并借助已有的零碎知识引导学生构建新的知识体系，指导学生主动思维、发现、认识、了解新知识，从而激发学生兴趣，教给学生探求问题、解决问题的方法。我们应当认为,传授知识并不是把学生所学知识全盘告诉学生，而是要设法让学生在知识 产生的背景中去思考探求，去尝试理解。使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验，提高学好数学的自信心。    解题策略的概念比较抽象，学生难以理解，开始教学时，教师可以用学生所熟悉的几个故事——《田忌赛马》、《乌鸦喝水》、《曹冲称象》让学生在具体的故事情境中展开想象，体会并领悟“策略”的含义。在数学教学中，这些故事可以充分的调动学生所掌握的方方面的知识储备，学生的思维很快会被激活，把数学中解决问题的方法与“策略”建立了有效的联系，同时也激发了学生学习的兴趣，牢牢地吸引了学生的注意力，为问题的解决打下了很好的知识基础和心理基础。因此，教师要注意学生年龄特征，把生活语言同学习内容结合，一定要多举些利用数学问题解决生活问题的例子，便于增强学生理解，不要把初中学生思维成人化，知识专业化。数学是循序渐进的学问，利用基础知识解决复杂问题是数学一大特点。所以，数学教学要重在基础，初中数学更是基础中的基础，如，不等式、函数及方程求解等问题的思维方法和技巧。不掌握好初中数学的学习方法、思想，那以后将很难进一步进行学习。作为初中教师一定要在学生掌握好基础知识后再作开拓。要教会学生学习，就要教会学生思维。为此，初中数学教师一定要做好小学到初中教学中的衔接工作，使每个初中 生都能在九年义务教育阶段掌握好应有的数学基础知识。
 课程《标准》指出：“课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。”其中 “数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。” 瑞士心理学家皮亚杰说过：“智慧自动作发端”，数学来源于生活，发展学生的数感离不开学生的观察、生活经验、动手操作。只有当学生把所学知识与生活经验联系起来，才能更好的掌握知识，内化知识。“数感”不是通过传授而能得到培养的，重要的是让学生自己去感知、发现，主动去探索，让学生在学习数学的过程中，更多的接触和经历有关情景和实例，在现实背景下感受体验，会使学生更具体更深刻地把握数概念，建立数感。在教学中为学生创设问题情境，让学生在讨论的过程中同学之间互相启发、互相学习、互相借鉴，体会数可以用来表示和交流信息，使学生在交流对数的感知时，丰富自己对数的认识，体会数学的价值，从而促进数感的优化。培养学生的数感还要让学生更多地接触和理解现实问题，有意识地将现实问题与数量关系建立起联系。要使学生面对现实问题能选择恰当的方法解决，并对运算结果的合理性作出解释。这就需要具备一定的数感，同时也使已经具备的数感得到进一步强化。

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