分类思想在中学数学中的应用 周洪林
提要： 数学中的分类思想，实质上就是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类的思想方法。在教学中，无论概念的剖析，命题的论证，还是知识的整理和系统化，都贯穿着分类思想，具有积极的指导意义。在解题中有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，才不会出现漏解的情况。
关键词：分类思想 数学教学 解题 分析 应用
近年来，国际数学教育界提出“大众数学”、“人人都要学会的数学”等口号。其含义有两层：一是数学要为大众所掌握；二是大众所需要的数学，要为大众所利用 。为此，我国提出在义务段进行素质教育，力求使每个学生在本身原有素质基础上，获得和谐和充分的发展，从而提高其身体素质、思想素质、文化素质，使学生学会生活，学会学习，学会创造，学会自我教育，具备现代社会的适应能力和生存能力。
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在中学数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。运用分类讨论的思想解决的数学问题，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化，又能促进学生研究问题，探索规律的能力。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。
一、 渗透分类思想，养成分类的意识
学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
用字母a表示任意数后，可对a 进行分类，得出正数、零、负数三类。
在学习绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：
0
|a|= a=0
a<0
通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。
又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。
二、 学习分类方法，增强思维的缜密性
在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。
分类的方法常有以下几种：1、 在处理绝对值问题方面的应用 去绝对值号，需要考虑绝对值符号里面的值。如果绝对值符号里面的值小于0，去掉绝对值符号后，要在绝对值符号里面的代数式前添负号；其它情况，可以直接把绝对值符号去掉。因此，假如数学问题里含有绝对值符号，而且绝对值符号里面的代数式值不确定，那么在解题时就需要讨论。 [例1].化简：|x+3|+(x+3) 因为x是实数，x+3可能小于0，也可能不小于0。因此，解答这一题，需要针对x+3的取值进行讨论。第一种情况：当x+3＜0时，原式=-（x+3）+(x+3)=0.第二种情况：当x+3≥0时，原式=（x+3）+(x+3)=2x+6.
[例2].已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的值范围是( )
A.a＞-1 B.a=1 C.a≥1 D.都不对
解：由已知方程显然可知x≠0，故按x＞0和x＜0两种情况进行讨论.
(1)若x＜0时， 则-x=ax+1，∴-(a+1)x=1,x=-,
由 x＜ 0 -＜0，有a＞-1；
(2)若x＞0时， 则 x=ax+1, ∴ x=
由 x＞ 0 ＞0，有a＜1；
当x＞0 a＜1，根据题设方程无正根，于是a＜1不成立，从而a≥1成立.
综合(1)、(2)知a≥1，应选(C).
2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类
学习一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式(⊿=b2-4ac)时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类研究⊿＞0，⊿=0，⊿＜0这三种情况对应方程解的情况。而此题 ⊿ 的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程根的三种情况。
[例3].若关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是( )
A.0，1 B.0，1，2 C.1 D.1，2，3
解：根据方程k的取值，原方程可分一元一次方程和一元二次方程两种情况进行讨论.
(1)若k=0时，则原方程为一元一次方程，即方程-4x+3=0有实数根x=，故k=0满足条件.
(2)若k≠0时，则原方程为一元二次方程，由△=(-4)2-4k·3≥0有k≤，所以k=1.
综合(1)、(2)所知，k的非负整数值是0，1，故应选(A).
[例4].已知a，b满足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，则的值等于 ____.
解：根据已知条件，对a与b的关系分两种情况讨论：
若a≠b时，a，b是方程x2-2x-1=0的两个不等的实根，
则a+b=2，ab=-1 ∴
(2)若a=b时， 则1+1=2
综合(1)、(2)知：的值等于-6或2.
3、按自然数进行奇偶分类
[例5].若n为大于1的整数，则+n的值是( )
A.一定是偶数 B.一定是奇数
C.是偶数但不是2 D.可以是偶数或奇数
解：∵n是大于1的整数，可按n为偶数和n为奇数两种情况分类讨论.
(1)若n为大于1的奇数时，则p=n2+n-1，p为奇数；
(2)若n为大于1的偶数时，则p=n+1必是奇数；
综合(1)、(2)知，p一定是奇数，故应选(B).
综上可知，分类思想在中考解题中有着广泛的应用，我们在解题中应仔细分析题意，挖掘题目的题设，结论中可能出现的不同的情况，然后采用分类的思想加以解决.
4、根据图形的特征或相互间的关系进行分类
如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
[例6]. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长a .其腰上的高是 ---------------。（2002年河南中考题）
分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD，如图，可得腰上的高是或 .
[例7].若⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别为2和，公共弦长为2，则∠O1AO2的度数为( )
A.105° B.75°或15° C.105°或15° D.15°
解：由圆的对称性，两圆的公共弦可在两圆心之间，也可以在两圆心同旁.
(1)若两圆心公共弦AB在两圆之间时，如图A，在Rt△AO1C中，
AC=1，AO1=2， ∴∠AO1C=30°；
在Rt△AO2C中， =1，
所以∠AO2C=∠45°， 即∠O1AO2=105°；
(2)若两圆的公共弦在两圆心的同旁时，如图(B)，如(1)中的解法得 ∠O1AC=60°，∠O2AC=45°，∴∠O1AO2=60°-45°=15°
综合(1)、(2)知，∠O1AO2的度数为105°或15°，故正确答案应选(C).
在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。
5、 在组合方面的应用
[例8].在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从100件中任意抽出3件，至少有1件是次品的抽法有多少种？ 从100件产品中抽出3件，可分为三类：①、没有次品，②、有一件次品，③有两件次品。抽取产品的方法数分别是 、 、。至少有一件是次品包括有一件是次品和有两件次品两种情况。所以，至少有1件是次品的抽法有 x 种。 x=2×98×97÷2+1×98=9604（种）从100件产品中抽出3件的方法数是=161700 。至少有一件是次品，实际上就是“100件产品中抽出3件”中不含“没有次品”的情况。所以从“100件产品中抽出3件”的方法数中，除去“没有次品”的方法数，就是至少有一件是次品的方法数。即 x 种。 x =100×99×98÷（3×2）-98×97×96÷（3×2）=161700-152096=9604（种） [例9]. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工、钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？
分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：
（1）选出的6人中不含全能工人；
（2）选出的6人中含有一名全能工人；
（3）选出的6人中含2名全能工人；
（4）选出的6人中含有3名全能工人。
解：
使用分类思想解决组合问题的思路，同使用分类思想解决排列问题的思路基本一样。都是先分解大概念，再根据种和类之间的关系，找出多种解题方法，再从中筛选出比较简捷的方法。6、 在解决概率问题方面的应用 使用分类思想解决概率方面的问题，常常能够找到比较简单的解题途径。尤其是互斥事件方面的问题，更是如此。 [例10]. 在50件产品中，有45件一级品，5件二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？ “从50件中任取3件”包括“从50件中任取3件，没有二级品”，“从50件中任取3件，有1件二级品”、“从50件中任取3件，有2件二级品”、“从50件中任取3件，有3件二级品”四种情况。“至少有1件为二级品”包括“从50件中任取3件，有1件二级品”、“从50件中任取3件，有2件二级品”、“从50件中任取3件，有3件二级品”三类。又因为这三类事件是互斥事件。所以，这三类事件的概率和就是“至少有1件是二级品的概率”。容易求得，①“从50件中任取3件，有1件二级品”的概率是 .②“从50件中任取3件，有2件二级品”的概率是 .③“从50件中任取3件，有3件二级品”的概率是 . 所以，从50件产品中任意取出3件，至少有一件是二级品的概率为 .上面是把“从50件产品中任意取出3件”按照二级品的个数分成“没有二级品”、“有1件二级品”、“有2件二级品” 、“有3件二级品”四种情况。也可以把它分成“没有二级品”和“至少有1件是二级品”两种情况。这两个事件不可能同时发生，属于互斥事件。所谓“至少有1件是二级品”的事件，就是“从50件产品中任意取出3件，而不含没有二级品”的事件。所以，从“任意取出3件”的概率中减去“没有二级品”的概率，即为“至少有1件是二级品”的概率。 在这个题里，“从50件产品中任意取出3件产品”是必然事件，概率为1.“没有二级品”的概率为 .故，“至少有1件是二级品”的概率为 .
7.含参数问题的应用
[例11].
分析：
解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线；
（2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线；
（i）当k<4时，方程表示双曲线；
（ii）当4<k<6时，方程表示椭圆；
（iii）当k=6时，方程表示圆；
（iv）当6<k<8时，方程表示椭圆；
（v）当k>8时，方程表示双曲线。
三、引导分类讨论，提高合理解题的能力。
中学数学课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
一般地，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。
[ 例12].已知函救y＝（m-1）x2＋(m-2）x－1（m是实数）.如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值.
分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－1≠0 两种情况来研究解决问题。
解：当m＝l 时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。
当 m≠1 时，函数就是一个二次函数
y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1
当△＝（m－2）2+4(m－1)=0,得 m=0.
抛物线 y=－x2－2x－1,的顶点（－1，0）在x轴上.
[例13].函数 y = x6 – x5 + x4- x3 + x2 – x +1，求证：y 的值恒为正数。
分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。
证明：⑴ 当x ≤0时
∵ -x5 – x3 - x ≥0 ，∴ y≥1恒成立；
⑵ 当0 < x <1时
y = x6 + ( x4 – x5 ) + ( x2 – x3 ) + ( x – 1)
∵x4 > x5 , x2 > x3 , 1> x ∴ y > 0 成立；
⑶ 当x = 1 时, y = 1 > 0 成立；
⑷ 当x >1时
y = ( x6 – x5 ) + ( x4 – x3 ) + ( x2 – x ) + 1
∵ x6 > x5 , x4 > x3 , x2 > x ∴ y > 1成立
综上可知，y > 0 成立。
[例14].已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是含30°角的直角三角形。
△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD。（1）画出四边形ABCD；
（2）求四边形ABCD的面积。
分析含30°角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。如图1是以AC为斜边和等边三角形ABC拼成的四边形ABCD（∠DAC=30°和∠DAC=60°这两种图形算出的四边形ABCD面积相同的，故归纳为同一类）．AC为直角边又可分为二种不同情况如图2和如图3。从图1，可算得S四边形ABCD= ；从图2，可算得S四边形ABCD= ；从图3可算得S四边形ABCD= .
由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。能体现出“不同的人在数学上得到不同的发展”。
参考文献：
1．《数学教育学》 主编 田万海 浙江教育出版社
2．《怎样学好初中数学》 主编 楚庄 科学出版社
3．《初中数学学习方法指导》 主编 蒋金镛、徐川 北京师范学院出版社
4．《理科考试研究》(初中) 2003年5月
5．《数学课程标准（实验稿）》 中华人民共和国教育部 北京师范学院出版社