多方位审视一道数学竞赛试题 顾婧婧

多方位审视一道数学竞赛试题 顾婧婧
 一道数学试题，由于审视的方位不同，往往能得到不同的解题方法.教学中教师要抓住一切有利时机，经常有意识的启发、引导学生在掌握基本方法的基础上，去发现更好、更美的方法，这不仅有利于学生对双基的掌握与巩固，更有利于学生的发散思维与创造力的培养。要达到这一要求，教师的教学就必须从优化学生的思维品质入手，把创新教育渗透到教学中，激发和培养学生的思维品质.
 2008年全国初中数学竞赛（浙江省）的试卷第17题，能够从不同的角度、不同的方位审视这道题中的数量关系和结构特点，可以用不同的解法求得相同的结果.单单从研究这道题目的不同解法中，我们就可以训练学生对数学思想和方法的娴熟运用，以及锻炼学生思维的广阔性和深刻性，灵活性和独创性，从而达到培养学生良好的思维品质的目的.
 题目：如图，是圆中的三条弦，点在上，                          且.请你说明∠∠成立的理由.
    题目中只有两个条件，根据表面条件只能得到关于角之间的两个数量关系：等弦所对的圆周角相等，还有三角形中等边对等角.如果能够把这些已知条件有机的联系到一起，引导学生应用不同的知识来剖析数量关系，让其上下沟通，左右交叉，这样就会产生尽可能新、尽可能独特的解题方法.
分析  从结论入手，要想证，由弦CD所对的圆周角相等联想到添加辅助线构造出与∠相等的角，并证明这个角与2∠相等即可.
解法1：如图1，连结
∵ ∴
【注意】：解法2同样连结B、C两点，但却主要应用的是圆周角定理及推论，并且以为媒介进行传递代换。添加同样一条辅助线却用了两种不同的方法求证，从而展示了竞赛对分析问题和解决问题能力的要求是全方位，高层次，多角度的。要求学生积极的思考，把握知识之间本质的联系，大胆尝试，积累经验，为认知提供素材转换思维的角度，培养创新思维品质.
 解法3：如图3，连结BC，延长BE交圆于点F
【注意】：本解法关键是通过证明
分析  类比上一种思维方式，不难想到构造。此时学生的思维方式发生了迁移，由已掌握的思维方式联系到另一种思维方式，是一次重大的飞跃.说明学生已经可以自主地去探索、去判断，良好的思维品质已经在潜移默化中形成了.
 解法4：如图4，延长BE交圆于点F，连结AF，DF
                    
分析  这道题还可以在不添加辅助线的情形下应用圆的内接四边形对角互补的性质，以∠C为中间量得到∠EBD与∠CAD之间的关系.没有构建直接的数量关系，纯粹运用角度关系转换，这种解法体现了知识的多角度、多层次性，以及知识的灵活应用.
                       ∴
分析  几何证明题除了经常应用分析法外，综合法也是一种常规方法。以下两种解法都是应用的是综合法——对已知条件逐一进行分析，由因导果，得到所要求证的结论.引导学生对同一来源材料，从不同角度，不同方法思考问题，寻求某类问题的解题规律，从而拓广思路，使思维辐射展开，培养思维的发散性，这不仅能强化学生对基础知识的掌握，而且对开发能力、培养学生的创造意识大有裨益.
解法7：如图7，连结BC,EC。设，
 ∵
分析  思维的发散性表现在思维过程中，不受一定的解题模式的束缚，从问题个性中探求共性，寻求变异，多角度、多层次去猜想、延伸、开拓，是一种不定势的思维形式.下面一种解法采用“旋转法”解平面几何题，就是适当选择图中某一定点为旋转中心，把某一部分图形沿逆时针（或顺时针）方向旋转一定角度，能使结论与题设产生直接关联，感悟出添加辅助线的方法，使用此方法时，被旋转的部分与固定图形往往存在相等的元素，这时，我们可进一步考虑旋转后图形的性质，从而找到解题途径。这更体现了发散思维具有多变性，开放性的特点，是创造性思维的核心.
 解法9：如图9，∵，把绕点按顺时针旋转角度，则 
 以上这几种解法，反映出不同的思维方式在证明几何问题中的应用，学生良好的思维品质也从这一过程中完全呈现出来.教师在平时的教学中要注重引导学生分析、综合、概括、抽象、归纳、推理，并学会思考问题的方法。让学生树立全方位、多角度审视问题的观念，养成良好的思维习惯，调动一切积极因素，尽可能多的寻求多种思路，这不仅培养了学生思维的独创性，而是更加培养了优良的数学思维品质.