从一道数学课本练习题谈圆的滚动 许春娥

从一道数学课本练习题谈圆的滚动 许春娥
 数学课本是获取数学知识的主要源泉，课本中的例题、练习题都是由编者精心筛选，匠心独运而成的，具有丰富的内涵和背景，对强化双基、开发智力、培养能力，有着极大的潜在价值。近几年，圆的“滚动”题已成为中考数学和各类数学竞赛题的热点之一。这类考题有的直接取之课本，有的则是把课本中的例题、练习题的条件或结论进行适当加工，改造编拟而成。所以在教学中要深入探求问题各种各样的变式，横、纵拓展，可以达到“做一题，通一类，会一片”。这样既能加深学生对基础知识的理解，增强综合运用知识的能力，提高学习效率，又可以有效地培养学生的各种思维能力，提高分析问题、解决问题和探索创新的能力。为此，本文以XXX版数学九年级下册120页随堂练习第2题为例，来谈谈圆的滚动问题。
一 、 圆沿着直线滚动
原题 如图：一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？

 分析：这是一道属于圆沿直线滚动的问题。硬币沿着直线从点A滚动一周到点B，滚动过程中圆与直线始终是相切的 ，圆心到直线的距离都等于半径，OO1 BA构成一个矩形，所以圆心经过的路径OO1 =BA，即圆心经过的距离等于硬币的周长。
变式1：（对题目的条件进行简单变换）小明自行车车轮的外半径为，他推着自行车前进，车轮向前滚动了10圈，他前进了多少？    分析：小明前进的距离就是车轮所在的圆滚动10圈所经过的距离。即等于圆的周长乘以圆转动的圈数，所以小明前进的距离为：
变式2：（对题目的条件和结论进行互换）反之，圆心经过的路程为一个圆周长，则圆自身转动了一圈。
推广：
二 、 圆沿着圆滚动
 若把原题中的直线改成线段并且围成一个圆，那就属于圆沿着圆滚动的问题。
变式3：如图 两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的外侧边缘无滑动地滚动一周，滚动硬币的圆心移动多少距离？
 分析：无滑动地滚动指滚动过程中两硬币（两圆）始终外切，若固定硬币为
⊙0，滚动硬币为⊙O′,半径均为，OO′=2R，动圆的圆心O′所经过的路径是一个半径为2R的圆的周长即2π(R+R）=4πR。

对变式3，再进行拓展
拓展1：（XXX版数学九年级下册127页试一试 ）图-1，两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的外侧边缘无滑动地滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？
 分析：硬币沿着固定硬币的边缘无滑动地滚动一周，根据原题变式2得出推广结论和变式3的结果，滚动硬币

拓展2 :（第九届华罗庚杯赛初赛试题第12题）半径为25cm的小铁环沿着半径为50cm的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿着大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自转了几圈？
 分析：无滑动地滚动指滚动过程中两铁环（两圆）始终内切，滚动过程中小铁环圆心所经过的路径长为2（50-25）=50，小铁环
拓展3：（1995年东方航空杯上海市初中数学竞赛题）如图2所示，七枚大小相同的硬币如图放在桌面上。第1枚硬币从位置开始滚过与它相同的其他六枚固定的硬币的上部，到达位置，求该枚硬币自身共滚过多少圈？     分析：如图-3所示，当这个圆从左边位置滚动到位置时，圆心转过的角AO1P=1800-600=1200,圆心经过的路径为，它转过的圈数；从P位置滚到Q位置圆心转过的角PO2Q=600，它转过的圈数=，在整个过程中，它类似于从位置滚动到Q位置时，共要经历4次；最后它滚到位置类似于从位置滚动到位置，又是圈。因此，一共滚动了
若把原题中的直线改成线段并且折围成多边形呢？
三 、 圆沿着多边形滚动
变式4：（西安市2004年中考题）如图一个等边三角形的边长与它的一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边无滑动旋转，直到回到原出发位置时，问这个圆自身转了几圈？（   ）
（A）2      （B）3    （C）4    (D)5
 分析：圆心滚过的路径由两部分组成，一部分是圆沿直线滚动所经过的三边长，另一部分是圆绕着三角形三个顶点旋转所得的三条弧长，每条弧长的半径都等于圆的半径，所对
的圆心角都为3600-600-900-900=1200 ，三个圆心角的和3600，三条弧长的和刚好是一个圆周长，圆心滚过的路径是4个圆周长，所以圆自身转了4圈。

拓展1：若把等边三角形改成任意三角形，且三角形周长不变，其它条件和所求的内容都不变，结果如何？（结果同上）
拓展2：若把等边三角形改成任意四边形、五边形或多边形，周长不变，其它条件和所求的内容都不变，结果是否变化？（不变）
拓展3：（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题第17题） 如图所示⊙o沿着凸多边形的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到原来的位置，（1）当⊙o和凸边形的周长相等时，⊙o自身转动了几圈？
 （2）⊙o沿着凸多边形的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到原来的位置，当⊙o的周长为，凸边形的
周长为时，求此时⊙o自身转动的圈数。
 分析：（1）圆心滚过的路径由两部分组成，一部分
是与凸四边形各条边都相切而滚动所得的各边长即一
周长；另一部分是分别绕各顶点转动所得的条弧线。
各弧线所对的同心角之和为
，即刚好自转一周，所以自转为2周。
（2）⊙o在各边上滚动所经过的路径为。而且
经各顶点所得弧线所对圆心角之和应为，即一周。所以⊙o自身转过的圈数为
拓展 4：如图-5所示，已知半径为1的⊙o和边长为10的正方形。（1）当⊙o沿正方形的内部四边无滑动地滑动时，⊙o自转圈数及⊙o经过的面积是多少？（2）⊙o沿正方形外部四边滚动时，⊙o自转圈数及经过的面积又是多少？

 分析：（1）如图-5所示，当⊙o在正方形
内沿四边滚动一周时，⊙o自转圈数
，⊙o所经过的面积为：

（2）如图-5，当⊙o在正方形外，⊙o自转圈数为：，⊙o所经过的面积为：

 由此可见，在数学教学中，教师要引导学生精读课本，善于挖掘课本中的典型题目，引导学生大胆猜想、多方联想、积极探求、拓广延伸、由此及彼等思维训练。这样的教学也将会真正焕发出课堂教学的活力，从而点燃学生思维的火种，燃起学生创造的欲望。