空间具有代数与几何双重属性问题

 向量是高中数学的新增内容，是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。线面平行是立体几何的一个重要内容，是面面平行等内容的基础，也是学生学习的一个难点和重点，若我们能充分应用好向量这个工具的特点，发挥它的双重属性，能起到事半功倍的效果。
 一、应用空间共线向量定理：由平面外的一条直线和平面内一条直线共线，得到线面平行。
例1 、（2004年天津）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。证明：PA//平面EDB。
           
 证明：如图所示建立空间直角坐标系D为坐标原点，设DC=a，连结AC，AC交BD于G，连结EG。
 依题意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，，）。底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，则点G的坐标为（，，0），=（a，0，-a），=（，0，-）=2，PEG，PA//EG，而EG平面EDB，PA平面EDB，PA//平面EDB。
 二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理，我们可得到如下的性质：如图，已知直线L不在平面α内，取直线L上的任一非零向量，平面α中存在两个不共线向量，，若存在唯一的实数对λ1，λ2，使得=λ1+λ2，则L//α。 
                     
 证明：由=λ1+λ2知，与共面，因此//α，由直线L不在平面α内得到L//α。
例2 、已知平行四边形ABCD，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为PC，PB的中点；求证：MN//面PAB。
                                                                                                 
证明：构造向量，，，和。
       =（+）=（—+）=（—）
       MN//面PAB
例3、 已知四边形ABCD是正方形，S是平面ABCD外一点，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1。求证：SB//平面PMN。
           
证明：如图，连结AC与BD交于O，连结SO，易证SO平面ABCD ，由四边形ABCD为正方形知BDAC，如图建立空间直角坐标系O-XYZ。构造向量，与，令BC= ，SO=1，
      由题目已知可得坐标：O（0，0，0），S（0，0，1），A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D(-1，0，0)，所以P（-，0，），M（0，，），N（0，-，），则=（1，0，-1），=（，-，-），=（，，-），所以=+，所以SB//平面PMN。 
 三、应用法向量：如果能证明平面外直线的方向向量垂直平面的法向量，得到线面平行。
 例4 、已知四边形ABCD是正方形，S是平面ABCD外一点，且SA=SB=SC=SD，SP:PD=1:2，SN: NA=2:1，SM:MC=2:1，求证：SB//平面PMN。
 
 证明：从例3可知=（1，0，-1），=（，-，-），=（，，-），由，可得到平面PMN的法向量=（-1，0，1），则·=0，所以，得到SB//平面PMN。
从上述问题中可以看到，在解决线面平行问题时一定要善于运用向量的代数属性，能融数形于一体的属性。通过代数的方法解决立体几何的空间问题，降低了立体几何的空间难度，给学生一个比较低的门槛，值得我们深入思考。
                  

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