在一次练习试题的讲评中，我们提到了2006年高考数学（湖南卷）理科的15题：
如图，∥，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则x的取值范围是 ；当时，y的取值范围是 。
教师：在射线OM上取，由平行四边形
法则可令，且，
，则有
=
令
则由 得 ，当时，
讲完了试题，有必要对题目进行进一步的引申探究 B
教师：如果点P在如图2所示的区域内呢？ M
（稍微思考了一会儿，有同学开始站起来回答）
学生1：反向延长OM，取，由平行四边形 O A
法则可令，且， P
，则有 图2
=
，根据m,n就可以求出x,y的范围。
教师：回答得非常好。根据平面向量基本定理，平面内任何一个向量都可以用该平面内的一组基向量来表示，就如上题所示，利用平行四边行法则，只要将向量沿着直线OB、OA方向分解就可以了。因此，我们可以得到点P在任意位置上的一般情况，如点P在如图3所示的区域内，则只要将沿着OM、OA M B
反向延长线方向分解就可以了……
O A
P
（话还没讲完，有一位学生兴奋地举起了手，同时站了起来）
学生2：老师，我想到了一种新的解法。根据图1，延长线段OP交AB的延长线于N点，则由共线向量定理，得
（1）
（2）
所以
因此 得
当时，
又由（2）可得，得 所以
因此，即
学生2（继续）：根据上面的解法，就用不着根据点P的位置一次次的作平行四边形来解决一般性情况了，我们只要延长OP或反向延长OP，则与直线AB相交于N点，利用共线向量定理就可以得到范围。
教师：（赞许的目光示意学生坐下）做得非常好。利用共线向量定理来求解，比较解法1，在作图上确实简单了，并且有些结果也更直观，更优越的是它能一次性地解决点P在任何区域内的情况，下面大家研究一下点P在不同位置时的x,y的范围情况。
（过了一段时间，已有一些学生陆陆续续地想发表自己的研究心得了）
学生3：我发现：点P和点O在直线AB的两侧时，；当点P在直线AB上时，
；当点P与点O在直线AB的同侧时，
学生4（补充）：当点P在直线AB和OM之间时，；点P在直线OM上时，
；当点P与在直线OM的异侧时，
学生5：x,y的范围求起来比较复杂，有必要将平面划分成很多区域，分别加以一一讨论，我已经求出了一些，但不全面。
经过老师和学生的进一步探讨、分析， M 4 3
一致意见是根据三角形的边所在的 B
直线情况把平面划分成9个区域，如图 9 5 2
4所示（1～9数字表示区域） O A
因此 ，容易得到x,y的取值范围如下表： 8 7 6 1
图4
点P所在区域 x范围 y范围 x+y范围
1 （1，+∞） （-∞，0）
点P与点O分布 2 （0，+∞） （0，+∞） （1，+∞）
在直线AB的两侧 3 （-∞，0） （1，+∞）
4 （-∞，0） （0，+∞）
点P在直线AB和 5 （0，1） （0，1） （0，1）
直线之间 6 （0，+∞） （-∞，0）
点P所在区域 x范围 y范围 x+y范围
7 （0，+∞） （-∞，0）
点P在直线的左 8 （-∞，0） （-∞，0） （-∞，0）
下侧 9 （-∞，0） （0，+∞）
点P在直线上 x+y=1
点P在直线AB上 x+y=0
教师（进一步引导）：很好，通过大家的研究探讨，我们不仅找到了解决问题的更有效的方法，而且解决了点P在平面中的一般分布情况。那么，我们能否将上面的解决问题的方法用到空间上去呢？也就是说：若O、A、B、C四点不共面，则由空间向量基本定理可知，对于空间上任意一点P，总有，，当点P在不同的位置时，的取值范围如何？
O
C
N
A B
P
学生6：类似平面问题的求解，我们有如下的结果（平面是过点O且与平面ABC平行）：当点P和点O在平面ABC的异侧时，；当点P在平面ABC内时，；当点P在平面ABC和之间时，；当点P在平面内时，；
当点P在平面上方时，。对于的范围问题，由于点P及直线OP与平面ABC交点位置不同，情况非常多。如点P在平面ABC的下方且OP与平面ABC的交点N在的内部时，有：
根据平面向量基本定理及上面我们研究的结果可知：
=
= 且
所以
令
因此，
至于其它情况，可以用同样方法得到……
教学反思：
1．表面看起来，本例题好象已得到圆满解决，解题过程无懈可击，知识落实也比较到位。但隐隐约约总觉得有言犹未尽之意。进一步反思例题的给出形式，明确已知
基向量的夹角可以是任意的，当这对基向量的夹角
为900且是单位基向量时，可以建立平面直 x
角坐标系，这时的x,y就是点P的坐标，如右图 B
（直线L为过原点且平行直线AB），则容易得到：
（1）点P在第一象限时，；点P在第
二象限时，；点P在第三象限时， O A y
；点P在第四象限时，。
（2）直线AB方程为：，直线L方程 直线L
因此，点P在直线AB的右上方时，有；当点P
在直线AB和直线L的中间时，有；当点P在直线L的左下侧时，。
不失一般性，就如例题给出的那样，当基向量的夹角是任意时，类比平面直角坐标系，根据
基向量所在的直线把平面划分为四个象限，则点P 第Ⅱ象限 B 第Ⅰ象限
在各个象限内的也有如平面直角坐标系 (x<0,y>0) ( x>0,y>0)
一样的结果，至此，该例题的命题思想和意图暴露 第Ⅲ象限 O A
无遗。同样，推广到空间上，我们也可以利用空间 ( x<0,y<0 ) 第Ⅳ象限(x>0,y<0)
直角坐标系来直观得到类似结果。
2．综合上面例题的解答过程，我们不仅可以进一步熟悉共线向量定理和平面向量基本定理之间的内在联系（共线向量定理显然是平面向量基本定理的特殊情况（，这也进一步提示我们在平时的教学中不能将两者割裂开来，而不加联系地进行处理），而且还可以归纳出以下几种解题思路：（1）通过对任意角的基向量及其位置的特殊化，可以利用我们熟悉的平面直角坐标系来得出结果，达到了化复杂为简单的目的，体现了一般—特殊—一般的解题策略；（2）平面内的点的位置可以通过两条直线的交点来确定，利用共线向量定理，可以解决点与点的相对位置关系，体现了平面问题直线化、高维问题低维化的解题思想；（3）根据平面向量基本定理，平面内的向量，都可以通过平行四边形法则或三角形法则，用一组已知基底向量来表示，体现了知识原理的直接应用。
3．在这里需要指出的是，通过本案例的探究，为线性规划单元中的二元一次不等式表示平面区域的证明提供了又一种思路，也从几何上揭示了方程和不等式之间的内在联系和区别。
4． 探究性解题教学注重教师和学生的互动和交流，强调学生学习的主体性、主动性，通过教师在课堂教学中的精心组织和引导，让学生历经体验、感受、类比、归纳、联想和推广的主动探究过程，充分调动学生的积极性和兴趣，加深对知识的理解和掌握，培养形成独立思考和创新性运用知识的能力。在本案例中，除了问题解决的探索研究以外，也注重对学生知识的纵深挖掘的能力培养，主要体现在对本例题的推广应用上：（1）对点P在平面内的不同位置的推广；（2）对基向量进行空间上的推广（这种推广在数学教学中是非常重要的，实际上，中学数学中的相当多的例习题都是数学问题中的特例，都可以通过挖掘、引申、推广，得到更一般的结果，都可以作为我们数学教学中探究性学习的素材，这不仅可以加深学生对数学知识本质的把握，而且可以激发学生对数学创新的兴趣和信心。如排列组合中有这样一个题目：4位学生各写一张贺卡，放在一起，然后每人从中各取一张，但不能取自己写的那一张贺卡，则不同的取法共有 种。这显然是全错位排列问题的特殊情况，教师可以引导学生去得出一般性的结果，顺便也可以了解伟大数学家的生平逸事）。最后，我们还可以来了解一下研究心得的简单应用，如下例：
已知有向线段PQ的起点和终点的坐标分别为和（），若直线：
与PQ的延长线相交，则取值范围是
解：设直线与PQ延长线交于，注意到直线经过定点A（0，－1），
则有
由本案例的研究结果可得，
又因为， ，
所以
将x,y代入直线方程，得
解之，得
所以