“数学建模”在中考题中的应用

 “数学建模”在中考题中的应用
 数学建模(MathematicalModelling)，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。
 数学建模思想的教学渗透顺应了当前素质教育和新课程标准教学改革的需要。二期课改中指出：要让学生“在实践应用中逐步积累发现、叙述、总结数学规律的经验，知道一些基本的数学模型，初步形成数学建模能力，能解决一些简单的实际问题”。 这一点说明，“数学生活化”是新一轮数学课程改革中的一个重要理念，它强调“从学生的已有经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。
 在初中数学中常见的建模方法有：对现实生活中普遍存在的等量关系（不等关系），建立方程模型（不等式模型）；对现实生活中普遍存在的变量关系，建立函数模型；涉及对数据的收集、整理、分析，建立统计模型；涉及图形的，建立几何模型……本文将结合中考题谈谈建模思想在中考题中的应用。
 一、建立方程模型　　方程应用题可以与现实世界的许多问题发生联系，是初中阶段学习数学建模方法的最好课例。在建立方程模型时，应着重培养学生如何学会寻找问题中的已知量、未知量之间的等量关系建立方程。近年来各省市的中考题中出现了一类别出心裁的中考阅读题，它主要以对话、图案、图表、污损文字等形式呈现题干内容，要求学生能阅读、理解给出的材料，能运用与方程有关的知识解决实际问题，并能用数学语言正确地加以表达，解决此类题的关键是要对试题的信息进行观察、比较、归类、识别、提取、筛选，从而找出最佳方法，准确、快捷地解题．
 例１  仔细观察下图，认真阅读对话：
 
 　　根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
 　　解：设饼干的标价为每盒ｘ元，牛奶的标价为每袋ｙ元，则有：
 　　ｘ＋ｙ＞１００．９ｘ＋ｙ＝１０－０．８ｘ＜１０解得８＜ｘ＜１０，
 　　又∵ｘ是整数，∴ｘ＝９，ｙ＝１．１
 　　答：一盒饼干标价为９元，一袋牛奶标价为１．１元．
 二、建立函数模型
 函数应用问题涉及的知识层面丰富，解法灵活多变，是考试命题的热点问题。解答此类问题，一般都是从建立函数关系入手，将实际问题模型化或结合函数图象来挖掘解题思路。
例2、如图1(甲)，为迎接新世纪的到来，某市制作了一种烟花，已知这种烟花高0.55米，燃放时需把烟花安放在为它特制的高0.7米的支架上，烟火从烟花的顶部喷出，各个方向沿形状相同的抛物线落下，根据设计，要求喷出的烟火在距离烟花1米处达到最大高度2.25米。
　　
　　(1)按图1(乙)建立的平面直角坐标系，求烟花的烟火划出的一条抛物线的解析式(其中x轴为地面所在直线，y轴为烟花所在直线，OA表示烟花与支架的高，B为烟火的最高点，C为烟火落地点)。
　　(2)若观看者环绕在烟花的四周，在不考虑其他因素的情况下，问至少要离开燃放点多远？
　　解：(1)由题意得，A(0，1.25)，顶点B(1，2.25)。
　　设抛物线解析式为
　　y=a(x-1)2+2.25
　　把点A坐标代入，解得a=-1。
　　∴y=-(x-1)2+2.25
　　(2)由题意，知C点为抛物线与x轴的交点，当y=0时，由-(x-1)2+2.25=0，解得
　　x1=2.5，x2=-0.5(不合题意，舍去)。
　　∴观看者至少要离开燃放点2.5米远。
 
 三、建立统计模型　
 涉及对数据的收集、整理、分析，建立统计模型。
 例3   某人承包水库养鱼1万条，为了了解鱼的和生长情况，第一次网出25条，平均每条重2.2千克；第二次网出40条，平均每条重2.4千克；第三次网出35条，平均每条重2.6千克。问：（1）该水库中鱼的总重量约是多少千克？（2）若不论大小，全部按每千克7.5元出售，他能收入多少元？（3）若把鱼分类出售，大鱼每千克10元，小鱼每千克6元，则水库中大鱼总重量不低于多少时，承包人卖鱼所得收入才能不低于按每千克7.5元出售所得收入？
 　　分析：本题是应用统计知识对生活中的问题进行观察、评估与决策，生活气息浓。本题主要检查学生对加权平均数公式。
 　　 的意义的理解和应用。有利于培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。其具体的思路是：
 　　（1）由于已知水库中有1万条鱼，要想知道这些鱼的总重量，只要知道平均每条鱼的重量即可。因此，可以运用统计方法，通过抽查水库中部分鱼的重量，来估计水库中每条鱼的重量。所以水库中鱼的总重量＝平均每条鱼的重量×鱼的条数，即：
 　　
 　　也就是：
 　　（2）用水库中鱼的总重量乘售鱼单价。
 　　（3）思路一：把问题转化为“水库中大鱼总重量为多少时，承包人卖鱼所得收入与按每千克7.5元出售所得收入相等”。通过列方程解决问题。
 　　思路二：先列出承包人收入与水库中大鱼总重量之间的函数关系式，列出不等式来解。
 　　解：（1） （千克）
 　　答：该水库中鱼的总重量约为24200千克。
 　　（2） （元）。
 　　答：不论大小，全部按每千克7.5元出售，水库承包人能收入181500元。
 　　（3）解法一：设水库中大鱼质量为x千克时，承包人分类售鱼收入与（2）中收入相同，根据题意，得
 　　
 　　解这个方程，得 。
 　　答：水库中大鱼总重量不低于9075千克时，承包人分类售鱼收入才能不低于按每千克7.5元出售的收入。
 　　解法二：设水库中大鱼重量为q千克，承包人售鱼收入为y元，则有
 　　
 　　要使承包人分类售鱼收入不低于（2）中收入，必须有
 　　解这个不等式，得
 　　答：水库中大鱼总重量不低于9075千克时，承包人卖鱼收入才能不低于每千克7.5元出售的收入。
 　
 　四、建立几何模型　
 几何应用题内容丰富，诸如测量、取料、剪裁、方案设计、美化设计等等。解答此类问题的一般方法是认真分析题意，把实际问题进行抽象转化为几何问题，进而运用数学知识求解。　
 例4. 据气象台预报，一强台风的中心位于宁波（指城区，下同）东南方向千米的海面上，目前台风中心正以20千米/小时的速度向北偏向60°的方向移动，距台风中心50千米的圆形区域均会受到袭击。已知宁海位于宁波正南方向72千米处，象山位于宁海北偏东60°方向56千米处。请问：宁波、宁海、象山是否会受到此次台风的强袭击？如果会，请求出受强袭击的时间；如果不会，请说明理由。（为解决问题，须画出示意图，现已画出其中一部分，请根据需要，把图形画完整。）
 
 
 分析：该题由2003年高考试题改编。　　优秀解法：如图过P作东西方向直线与AB（南北）延长线交于O，先求得OP=36+108，则BO=36+36，再求得∠BPO=30°,从而证明台风中心经过点B，所以台风中心必过宁海，时间为5时；通过简易运算可说明台风会袭击象山，受袭时间约为1小时13分，宁波不会遭到台风的强袭击。
 数学的生命力在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。如何将现实转化为数学模型，这是对学生创造性地解决问题的能力的检验，也是数学教育的重要任务。实际问题是复杂多变的，数学建模需要学生具有一定的探索性和创造性。在教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到数学并非只是一门抽象的学科，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学方法解决实际问题的妙处，进而对数学产生更大的兴趣。

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