突破题海战术，提升解题能力——谈反思在数学解题中的运用
摘要：培养数学思维能力是数学教学的核心，而数学解题后的反思对于培养学生数学思维能力至关重要。在当前数学教学实践中，往往注重从解题的分析、判断、比较入手，培养学生思维的灵活性、敏捷性、创造性，而忽略了解题后评价意识的培养,不利于学生思维的全面发展。本文通过教学实践总结，探讨如何在数学题解中运用反思教学，树立学生反思意识。
关键词：反思；数学；解题能力；题海战术
数学学习中的反思，是近年来越来越受关注的一个课题。荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力，通过反思才能使现实世界数学化”。美籍数学教育家波利亚也说：“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的机会，通过反思所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。”可见，反思在数学教学过程中具有重要的地位和作用。
古人云：“学贵自得”、“学贵有疑”。学习不主动，不反思，就如衣来伸手、饭来张口，不会主动去探索、寻觅，这样就很难获得深入学习的能力和求异、创新的品质。在平时教学中，我们经常听到老师这样埋怨：这道题刚刚讲过，学生又做得一塌糊涂。而学生也常拍着脑袋喊冤：这题我已经做了好几遍了，怎么一下子又没做出来。出现这种现象的原因就在于：一些师生只注重做题的数量，而忽视解题的质量；这其中的关键恰恰在于只注重做题结果，而轻视解题的过程以及解题后的反思。因此要提高学生解题质量，就必须培养学生题后的反思总结能力。
题后反思是对整个解题活动的反思，主要包括对题意理解的反思、习题涉及知识点的反思、解题思维程序的反思、解题结果表述的反思、解题所用方法规律和技巧的反思以及解题失误的反思等。反思是一种积极的思维活动和探索行为、是一种再创造的学习，也是学生自觉进行回顾、思考、总结、评价和调节的过程。在学习过程中，反思是发现的源泉，是激发思想火花、升华思维成果的契机，是训练思维和优化思维品质的极好方法。毋庸置疑必须培养学生具备良好的反思能力和良好的反思习惯。
一、知识点，反思教学的“课眼”
新课程理念明确强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”。充分挖掘教材，分析把握教材中的重点与难点，细致分析学生的知识经验与生活经验，切实做到“以学定教”这是我们每一位数学教师必备的基本功。但随着新课程的推广，部分教师片面理解课标中的理念，认为每一节课、每一个知识点的掌握，都必须使学生在生动具体的情境中进行学习，还有部分教师因受新课程数学教科书编排诸多情境的冲击，一拿到课，首先想到的是要创设一个什么样的情境导入新课，甚至想用一什么样的情境贯串整堂课；要如何制作一个精美的、华丽的课件来迎合新课改的要求，而忽略考虑了本节课的“课眼”——学生的“新知生长点”，严重违背了教师备课的基本方法。
如在复习三角形三线（高线、角平分线、中线）这个知识点时，很多学生都认为这个知识点太简单，“三角形的三条高所在直线、三条角平分线以及三条中线分别相交于同一点，”、“等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线合一”，早已烂熟于心，但一解题还是要出错。
例：已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于_______。
错解：如图1，∵CD⊥AB，CD=1/2 AC，∴∠A=300.
分析：错误的原因就是学生没有认真理解“三线”这个知识点，他们认为“三线”都在三角形内部。
通过学生反思、讨论，最终对“三线” 这个知识点有了进一步理解，发现三角形的内心（即角平分线的交点）肯定在三角形内部，三角形三条中线的交点也肯定在三角形内部，但三条高线所在直线的交点可能在三角形内部，也可能在外部或其中一个顶点上，于是得出了正解。
解：（1）当ΔABC是锐角三角形时，
∵CD⊥AB，CD=1/2 AC，∴∠A=300.
（2）当ΔABC为钝角三角形时，
∵CD⊥AB，CD=1/2AC，∴∠DAC=300，∴∠BAC=1500
通过此题的进一步反思，学生们又发现了三角形的外心（即三边垂直平分线的交点）也有三种可能的位置。
又如，在等边ΔABC（如图3）所在平面上找一点P，使ΔPAB，ΔPBC，ΔPCA都是等腰三角形，这样的点P共有（ ）个。
A．1， B．4， C．7， D．10
通过反思探讨，学生们发现本题的错误在于对图形的分类不全面造成漏解，正确的解法应逐级分类：（1）点P在ΔABC的内部有1个点；（2）点P在ΔABC的外部有9个点，共有10个点.如图4所示。
这两题的反思训练，充分激起了学生求知、求思的积极性和主动性，起到了自我认识教育的目的，同时也唤醒学生要真正理解所学的概念、定理、法则等知识，养成全面思考，善于分析的习惯，提高自我认识水平。
二、解题方法，反思教学的“瓶颈”
许多习题重在考查学生思维的全面性、深刻性和灵活性，因此一题可能有多解。在解题时，要求学生不能仅仅满足于能够解决习题，更要养成完成习题后反思解题方法的习惯。做完题后要想想：该题还有没有其他方法？哪种解法更好更简便、更具技巧性？如果改变某一条件，题目又会有何变化、如何解决？通过一题多解、一题多变的训练，引导学生从不同角度全面考虑问题、摆脱固定的思维模式、发现自己思维的不足之处，在不断的训练中完善自己的思维过程以及培养思维的严密性。通过反思，探索出新的解题途径、寻求最佳的解题方法，通过反思获取成功经验、体会成就感、激发思维的火花，养成“从优从快”的思维习惯，突破题海战术的“瓶颈”，找到最合适的解题思路，激发学生思维的创造性和灵活性，提高解题的效率。
例：如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB的宽是20㎝，如果水位上升3㎝时，水面CD的宽为10㎝，建立合适的直角坐标系，求此抛物线的解析式。
这道题一般方法就是建立直角坐标系，而随着建立的坐标系不同所得的函数解析式和计算量也不尽相同，这里可以引导学生通过比较反思得出建立如图6的坐标最为简便。
三、解题规律，反思教学的“宝典”
“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”正确掌握行之有效的解题规律，是学生突破题海战术的关键所在，是反思教学的“宝典”。做完习题后，反思一下所用解题方法中有无规律可循？解题方法是否严谨、有新意？让学生通过几道习题的求解，引出一类习题的解法，可以更加有效地强化解题能力、提高做题效率，同时激发学生的创新意识。
如:把y= x2+3x+ 的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的图象函数解析式是___________。通过这题的反思，引导学生得出图象平移的规律即“左正右负，上正下负”。进一步反思图象绕着顶点旋转180度、以及关于X轴或Y轴对称的图象变化的规律。
四、完整性、严密性，反思教学的“综合症”
长期以来，数学留在人们脑海中最多的是抽象、枯燥，尤其是做练习，更是乏味，但它更突出了“实践与综合应用”，它要求密切联系实际，综合应用知识，对题型的完整性和严密性稔熟于心。而缺乏对问题完整性、严密性的考虑，是数学教学中一直存在的“综合症”。譬如：学生眼高手低，拿到一道题，一看很简单，所涉及的知识点很熟悉、解题方法也比较明确，于是思维就停留在较为浮浅的表面，结果解题时遇到障碍。反思解题思路的严密性、完整性，很有利于培养学生思维能力的周密性、能达到培养学生形成很强的逻辑思维习惯的目的。
例：反比例函数y=－－ 的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2),且x1<x2，那么下列结论正确的是（ ）
Ａ、y1<y2 Ｂ、y1>y2 Ｃ、y1=y2 Ｄ、y1与y2之间的大小关系不能确定。
很多同学会选Ｂ。显然，Ｂ是错误的。通过反思没有完整的掌握反比例函数的增减性，忘了必须在每一个象限这个条件，应该选Ｄ。
五、失误，反思教学中的“突破口”
在数学教学中，我们经常发现，每次失误基本上都是同类型的。失误虽然被我们常常提起，但因为没有很好的进行反思，虽然意识到失误之处，却无法正确的找出其知识点、方法、规律，结果导致一而再、再而三地出现同类错误。在反 思教学中，失误恰恰是提高解题能力的“突破口”。学生出现的种种失误，既有知识上的缺陷和能力上的不足，也有许多非智力因素的影响。这些非智力因素主要表现在答题方法、书写规范、应试心理等方面。因此学生应认真总结和反思做题过程中出现的失误，可进行以下的反思：是否很到位的理解了题意？解题时走过哪些弯路？出过哪些错误？这些问题如何改正？这类题的思维模式是什么样的？解题中是否有规律可循？自己为什么没有发现？针对各种问题及时整理，提高辨析解题错误的能力，努力克服自己在解题中的的不足之处和不良习惯，提高解题效率。
例：某村口见了一个如图7所示形状的门楼，半圆拱的圆心距离地面２m，半径为１．５m，先有一辆高２.９m，宽２.５m的集装箱卡车，问：该卡车是否能通过这个门楼，请写出结论并说明理由。
这道题是九年级的学生在学习了二次函数和圆的基本性质以后笔者所布置的作业，应该用圆的性质及勾股定理来解决，但很多同学却用二次函数做，究其原因是把弓形当成了抛物线而造成的错误。这类题确实有圆和抛物线两种，这是属于审题不仔细。
总之，反思性数学学习的基本特征是它的探究性，在数学学习活动探究其中的问题和答案，建构自己对问题的理解，产生超越已有信息外的信息。学生在平时做题过程中养成解题后的反思习惯，善于在反思上下功夫，既可促使其牢固掌握“双基”，促进知识的有效迁移、同化和深化对问题的理解，又可提高解题效率和正确率，同时也是学生学好数学、老师搞好数学复习的有效措施，更是一种提升学习能力的好办法——学生在反思中获得方法、在反思中升华思维、在反思中提高能力、在反思中重塑自我、超越自我。