挑战学生能力的“定义型”试题
《课程标准（实验稿）》指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索与合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的数学知识与经验”，“数学学习内容应当是现实、有意义的、富有挑战性的”，使学生“不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习”。要使上述教学理念真正在教学中得以落实，那么我们在平时的教学中，必须认真组织“数学活动”，精心编制习题，以习题为载体，使学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理等过程，理解数学、掌握数学和运用数学。在我们的教学实践中，我们觉得“定义型”试题就是其中很好的一种题型，也是近年来中考的亮点之一。它在强调培养学生数学应用意识的同时，注重考查学生的数学思考、探究的过程以及分析和解决问题的能力，考查学生的理解能力，考查学生的实践探究能力和创新意识，强调的是体验和感悟数学，关注的是学生知识的形成、发展的过程。真正对学生数学的能力提出了挑战。
所谓“定义型”试题，一般指给出一种问题情景或介绍一种新的规定，通过阅读理解，要求学生边学边思考，按照题意，解决有关的问题。下面通过举例来说明，与同行共赏析。
例1、（06年浙江实验区23题）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。 如：，， ，因此4，12，20这三数都是“神秘数”。
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
分析：（1）由规律：4=4×1=，12=4×3=，20=4×5=，28=4×7=，…2012=4×503=，知28，2012都是神秘数；
（2）是4的倍数，但不是8的倍数；
（3）是8的倍数，因此不是神秘数。
[评注]这是一道归纳、猜想型的探索性试题。这类题经常用不完全归纳法，从特殊到一般，即由特殊事件的结果猜想推出一般性的结论或规律。试题往往是对学生所学的知识的拓展，综合考查学生的能力。它首先要求学生学会仔细审题，理解“神秘数”的定义，进而探究它的性质，尝试寻找规律，验证猜想正确。当然，本题还可以继续提出问题，比如从4开始第2006个“神秘数”是几？还可以求若干个“神秘数”的和，等等。
例2、（06年安徽实验区23题）如图1，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=，且∠BPC=∠CPD=，则称点P为四边形ABCD的一个“半等角点”。
（1）在图3的正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足；
（2）在图4四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留作图痕迹（不需写出画法）；
（3）若四边形ABCD有两个半等角点、如图2），证明上任意一点也是它的半等角点。
分析：（1）所画的点P在AC上，且不是AC的中点；
（2）画点B关于AC的对称点，延长D交AC于点P，点P即为所求；
（3）连,,,和,,
由题意,∠B=∠D,∠D=∠B ,所以∠B+∠B =180°
因此在AC上,同理在AC上。由△D≌△B得，=，=，于是B、D关于AC对称，设P是上一点，由对称性可以得∠DPA=∠BPA∠DPC=∠BPC，即点P是四边形的半等角点。
[评注]通过审题，首先要理解“半等角点”的定义，进而了解它的性质，那么解决本题就不会太难了。用到的知识点，学生可能比较熟悉，但是要自觉地运用到新情景中去，对学生是有意义的挑战。因此在平时的教学中，要充分利用课题学习的机会，有意识地开展训练，提高学生的阅读能力、接受能力、表达能力和应变能力。
例3、（05年滨州试题）在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为，则有结论：
;
(1)上面的结论即为著名的余弦定理，试用文字语言表述余弦定理： ；
试用余弦定理解答下面的问题：
（2）过边长为1的正三角形的中心O引两条夹角为120°的射线，分别与正三角形的边交于M、N两点，试求线段MN长的取值范围。
分析：（1）三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍；
（2）如图，设，则，，，
在△MCN中，∠MCN=60°，由余弦定理得，
∴∵，∴当时，MN取最小值，当时，MN取最大值1，因此。
[评注]本题以学生后继学习内容为背景，介绍重要的余弦定理，要求学生能模仿应用定理解决问题，是对数学学习能力的挑战。但是由于学生起点不一，有的同学可能自学过有关的知识，或在竞赛辅导中学习过此定理，或者有的老师在上课时介绍过有关内容，我们认为在“定义型”试题的命制过程中，应尽力避免之。否则，容易造成对学生的不公平，会形成把高中知识放到初中来学的错误导向。其实，本题的文字语言叙述和二次函数最大（小）值的取法，学生难度很大。是否会与新课程理念相左，值得商榷。
例4（05年嘉兴试题）某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质可以拓展到扇形的相似中去。例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方……
请你协助他们探索这个问题。
（1）写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似。
（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为、弧长为，另一个半径为，则它的弧长为 ；
（3）如图是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30㎝，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇，求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径。
[评注]本题通过与三角形相似的类比，给出相似扇形的概念、性质，提出阶梯式问题，要求学生像数学家研究数学那样，去探索研究问题。
分析：（1）如：圆心角相等，半径和弧长对应成比例等；（2）；
（3）圆心角120°，半径15㎝。
[评注]在阅读理解的基础上，将相似扇形的定义与性质与相似三角形的定义、判定、性质类比联想，使学生从模仿与迁移中实现信息的迁移与转化。这样的阅读理解题，我们认为能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力，渗透了新课程的创新理念。从实践来看，难度适中，学生和老师是比较欢迎的。
例5、阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形“友好矩形”。如图1所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”。显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个。
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好四边形”？
（2）如图2，若△ABC为直角三角形，且∠C= 90°，在图2中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形的面积大小；
（3）若△ABC是锐角三角形，且BCACAB，在图3中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明。
分析：（1）通过阅读理解，“友好矩形”的定义，那么就可以类比地得出“友好平行四边形”的定义：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”；
（2）此时共有2个友好矩形，如图2的矩形ACBD、矩形ABEF；其面积都为△ABC面积的2倍，因此，△ABC的“友好矩形”的面积相等；
（3）此时共有3个友好矩形，如图3的矩形BCDE、矩形CAFG、矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小。
简证：由于这三个“友好矩形”的面积相等，设为S，矩形BCDE、矩形CAFG、矩形ABHK的周长分别为，，，△ABC的边长BC=，AC=，AB= ，则
且，，所以
因此，同理，所以最小，即矩形ABHK的周长最小。
[评注]首先给出“友好矩形”的定义，然后要求学生类比得出“友好平行四边形”定义，促使学生重新审视相关定义，并且能跃跃欲试画出符合要求的图形，但是要防止漏解，这也是有较好的区分度之一。最后的证明，又使学生从数形结合，回到理性的思考。
总之，教师要不断地学习充实自己，提高自己的水平，中考中出现的新题型，既体现了数学学科的基本特点，又给学生创造了灵活、综合地运用基础知识、基本技能探索思考的机会，要加以分析、研究，以便更好地驾驭教材、驾驭课堂，促进新课程的积极实施以及学生学习方式的转变。