“高斯算法”的探究性教学
内容摘要：本文内容主要探究高斯算法1+2+3+4+……+n=在具体题目中的作用，表现在数列方面和几何方面的探究。让学生学会有价值的数学，培养学生善于观察、探索、归纳等能力。
关键词：高斯算法 教学 探究
华东师大版七年级（上）P6的阅读材料上介绍了高斯关于1+2+3+4+……+100的算法，看了之后不少同学对高斯的发现非常佩服，很想自己也能有类似的发现。为此，我趁热打铁，专门安排了一堂课，组织学生对“高斯算法”进行挖掘、拓展、设计出了一个探究性的问题系列。让学生亲身体验探究数学问题带来的快乐！
探究1：（数与字母）
①数列2、4、6、8、10……第n项（n为正整数）是______，其和是______；
②数列1、6、11、16、21……第n项（n为正整数）是___，其和是___；
③数列2、3、5、8、12……第n项（n为正整数）是______，其和是______；
对于数列①，同学们不难发现这些数都是偶数，一切偶数总可以表示成2n的形式，所以第n项就是2n。关于其和的问题，给同学们几分钟时间后，就有同学发现：其和用S表示
则：S=2×1+2×2+2×3+2×4+……+2×n=2（1+2+3+4+……+n）
=2（n+1）·=n（n+1）=n2+n
这位同学说得多好啊!是否还有其它算法吗？学生就沉入思考。过了一段时间，虽然学生想不出其它好的算法，我略作提示：此数列的和是从小到大的，能否从大到小的排列，比较并加以思考。在我的提示下，有同学发现，回答：
S=2+4+6+8+……+（2n－2）+2n
S=2n+（2n－2）+……8+6+4+2
则： 2S=（2+2n）+（4+2n－2）+……+（2n+2）
=（2+2n）·n
所以： S=·n=（1+n）·n=（1+n）·n=n2+n
这位同学的回答着实让我兴奋。接着就问奇数列1、3、5、7、9……呢？不到一分钟时间，同学们的答案就有了，第n项为2n－1，其和S=n2。
趁着同学们探究兴趣的来临，我就提出了数列②。经过分组讨论后，发现相邻前后都相差5，故可以把此数列表示成：1，1+5×1，1+5×2，1+5×3，……1+5（n－1），这时第n项就是1+5（n－1）=5n－4，则其和S为：
S=（5×1－4）+（5×2－4）+（5×3 – 4）+……+（5×n－4）
=5（1+2+3+4+……+n）－4n
=5··n－4n
=
题目在逐渐地加难，同学们探究的激情丝毫未减，我继续为其加油：“只要努力，高山也会变成滩途，数学会带给我们无限的乐趣。”这时我就鼓励他们继续观察数列③的特征。你们又能发现什么呢？实质上只不过后前相邻数依次多1的变化，于是我就对数据进行剖析：
2=2，3=2+1，5=2+1+2，8=2+1+2+3，12=2+1+2+3+4，……这样一提示，同学们就领悟到了数列的特征！那么第n项该怎样表示呢？就有同学举手发言：第n项应该是：
2+1+2+3+4+……+（n－1）=2+[1+（n－1）]·= 2+-
我又问：2008年我国将举办奥运会，若n=2008时，这一项又是什么数据呢？这时同学们的计算器劈劈啪啪响个不停，答案一下子就出来了：2015030，那么其和呢？求和有一定的难度，解答如下：
S=(2+-)+(2+-)+(2+-)+……+(2+-)
=2n+(+++……+)-(1+2+3+……+n)
=2n+·-·
=
探究2：（数与几何）
例1，已知：∠AOB内有n条射线OP1，OP2，OP3……这些射线连同OA、OB两条射线在内，能把∠AOB分成几个角（用字母P表示）。
分析：这个问题用一个一个地数看是很难完成的，而且容易重复或遗漏，所以我的处理方式是：
①让同学自立画图实验，得到图1，图2，图3，图4，引导学生数出前四个图的角的总数P
图1 图2 图3 图4
n=1时 n=2时 n=3时 n=4时
P=3 P=6 P=10 P=15
②让同学猜想n=5、6、7……，P是多少，实质就是探究数列3、6、10、15……
③启发同学对上数列有何认识？是否类似于探究1中的③问题呢？让同学们合作，剖析数列就不难发现：
当n=1时 3=1+2
当n=2时 6=1+2+3
当n=3时 10=1+2+3+4
当n=4时 15=1+2+3+4+5
……
当有n条射线时，角的总数P=1+2+3+4+……+（n+1）=
例2：如图(5)是用小棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去：
A、当每边摆10（即n=10）时，则共有多少个最小的三角形。
B、当第n个图案时，则共有多少个最小的三角形（用S表示）
如图(5)
仔细数一数，再观察其图形从上到下一个一个地数三角形,就会发现其规律：
当n=1时 S=1
当n=2时 S=4=1+3
当n=3时 S=9=1+3+5
哈哈，这不就是奇数数列吗？
所以，A、当n=10时，S=1+3+5+7=……+19=102=100
B、当n=n时，S=n2
进一步思考：A中需要的小棒总数为多少根？
B中需要的小棒总数S与n的关系式又是什么？
此时，同学们好像发现了规律似的：
当n=1时 S=3
当n=2时 S=9
当n=3时 S=18
当n=4时 S=30
有人举手，这就是探究数列：3、9、18、30……。此数列是3的倍数，即3×1，3×3，3×6，3×10……这样第n项的数据也就清楚了。也有人说：受原题的影响，小棒与数三角形个数有密切关系：
当n=1时 相当于1个三角形
当n=2时 相当于（1+2）个三角形
当n=3时 相当于（1+2+3）个三角形
……
当n=n时，相当于（1+2+3+……+n）个三角形
所以，S=（1+2+3+……+n）×3=×3=
随着上面问题的解决，我继续举出以下习题以巩固本堂课所学内容。
①有一种放铅笔的V型槽，第一层放1支，第二层放2支，依次增加一支……
问：A、第100层共放铅笔________支
B、第n层时共放铅笔_________支
②有一次晚会有50人参加，每两人握一次手，共有多少次握手？有n人呢？若互相之间还要互赠贺卡，则n人会议共需多少张贺卡？
通过以上问题的设计，不仅让同学们感受到数学的应用价值，而且让同学们体验到用数学知识解决实际问题后带来的无穷乐趣，从而激发同学们对学习数学的兴趣和求知欲，真正做到人人学有价值的数学，使同学们探究问题时有热情感、方向感和成功感。当然，作为教师在设计问题时应具有由易到难，层层深入，符合同学们的认知规律，并采用自立、合作、引导动手实践等探究方式，有目的地去调动同学们的学习积极性，培养同学们的思维发散性、灵活性、流畅性和开放性等思维品质，同时培养同学们的创新精神。在认知中探究，在探究中进步，真正体验到探究数学问题带来的快乐。
参考文献：
1、《义务教学课程标准实验教科书》华师大2003年版
2、金海强《在变化中探究，在探究中发展》，《中小学数学》全国数学教研第十三届年会范文集（中学）2006.8
3、《数学课程标准》（实验稿）中国教育部制定，XXX版.