从思维角度提高数学学习的有效性的策略.
关键词：思维、有效性、逻辑推理能力、运用类比、巧设问题、变式训练
一、问题提出：
中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生具备数学基础知识的素养；另一方面，要通过数学知识的传授，培养学生能力，发展智力，这是数学教学中一个非常重要的方面，应引起高度重视，在诸多能力中，我认为思维能力是核心。
我们知道，人类的活动离不开思维，钱学森教授曾指出：“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程。”思维活动的研究，是教学研究的基础，数学教学与思维的关系十分密切，数学教学就是指数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。对数学思维的研究，是数学教学研究的核心，数学思维的发展规律，对数学教学的实践活动具有根本性的指导意义。
数学学习的策略有很多，最主要的是找到提高数学学习有效性的策略。而提高学生学习的有效性归根结底还是在于数学思维能力的培养。
二、数学思维能力概述：
1.数学思维能力：
每个人的能力不同，那么思维能力更是不一样，数学思维能力比较抽象，培养这种思维能力不是短时间就能完成的。我们知道，能力是顺利完成某种活动所必需的并直接影响活动效率的个性心理特征。数学能力是人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合，而其中数学思维能力是数学能力的核心。
2.数学思维能力要素：
高度的抽象性是数学最本质的特点，数学的抽象性导致了极大的概括性，抽象和概括构成了数学的实质，数学的思维是抽象概括的思维。因此，抽象概括能力构成了数学思维能力的第一要素，除此之外，还有推理能力，判断选择能力和探索能力。
三、数学教学中培养学生的数学思维能力：
（一）数学思维的基本能力：抽象概括能力、推理能力、选择判断能力
数学抽象概括能力是数学思维能力，也是数学能力的核心。它具体表现为对概括的独特的热情，发现在普遍现象中存在着差异的能力，在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，由特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力，把本质的与非本质的东西区分开来的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。
选择、判断能力是数学创造能力的重要组成部分。选择、判断不仅表现为对数学推理的基础过程及结论正误的判定，还表现为对数学命题、事实、数学解题思路、方法合理性的估计以及在这个估计的基础上作出的选择，判断能力实际上是思维者对思维过程的自我反馈能力。
（二）运用不同方法，培养学生的思维能力。
1、在实践中启迪学生思维。
教师在教学实践中动手操作或让学生自己动手操作，最能激发学生的学习兴趣，保持学生稳定的注意力。如在推导圆柱体体积时，通过让学生自己推导将一个圆柱体拼割成一个近似的长方体，在这个过程中，不但让学生体会体积转化的一种方法：将新图形转化成我们所熟悉的图形求体积，同时也让学生掌握了圆柱体体积公式。但这还不够，我要求学生认真观察我的推导过程，这个近似长方体与原来的圆柱体比较，体积、表面积是否发生了变化？在学生熟悉掌握圆柱体的体积公式后，我又出了这样一道题：将圆柱体拼成近似长方体后，表面积增加了40平方厘米，长方体的高为1分米，求原来圆柱体的体积？学生由于刚刚自己推导了这个体积公式，所以很快就可以解决了。
在七下第一章，三角形的角平分线和中线这节内容中，引出这两个概念通过让学生折三角形，画三角形的角平分线和中线，让学生在自己动手操作中体会三角形角平分线和中线与一个角的角平分线和线段中点的不同，从而得出概念，加深对概念的理解。
2、运用类比方法，培养学生的创新思维。
类比方法是根据两类事物之间的相似性，从而也推导出其他方面也有类似的推理方法。在数学教学中运用类比的方法是比较重要的一种方法。
运用比较辨别，启迪学生思维想像；如在合并这个同类项时，不少学生感到有困难，不知道如何把分解开来，于是我先让学生合并这个同类项，这时候通过比较，学生恍然大悟，可以把看做一个整体来合并。再如，在上一元一次不等式这节内容时，我先让学生自己探究如何解这个不等式，一开始学生无从下手，不知如何来解。于是我有提示：如果把“”改为“=”怎么解，学生恍然大悟，按照解一元一次方程的解法，很快能类似地解出这个不等式。
通过分析归纳，培养学生的创新思维；又如在教完平面图形面积计算公式后，我要求学生归纳出一个能概括出各个平面图形面积计算公式，学生通过讨论，归纳出面积都可以用梯形面积公式来表示。（上底+下底）×高÷2，当上底等于下底时，梯形公式变成了长方形公式、平行四边形公式、正方形公式；当上底=0时，又变成了三角形公式；因圆面积公式是根据长方形面积公式推导出来的，所以圆面积公式也可以用梯形公式来表示。这样不仅使学生熟练掌握了平面图形的面积公式，同时也培养和提高了学生的创新思维。
3、巧设探索性问题，培养学生创新思维。
现代心理学认为，为教学应设法为学生创设逼真的问题情境，唤起学生思考的欲望。让学生真正体验到用数学知识解决实际问题的乐趣。因此在教学实践中，我尽量做到在数学教学过程中加强实践活动，设计开放性习题，让学生在实践中提高创新思维。如在教百分数应用题时，我出示了这样一题：张老师欲购买一台笔记本电脑，为了尽量少花点钱，他考察了A、B、C三个商场，他想购买的笔记本电脑三个商场都有，且标价都是9980元，不过三个商场的优惠活动不同，具体是这样的：A：全场9折 B：购物买1000送100 C：购物满1000元九折，满10000元 八八折 张老师应到哪个商场买？为什么？这道题显然不同于一般的应用题，因此我启发学生，应该充分考虑如何才能真正少花钱这一特定条件去考虑？学生进行了认真的考虑和讨论，最后得出了答案。所以问题设计得好与坏也可以直接影响学生的思维能力。
问题设置的好坏，还直接影响上课气氛和学生思维质的变化。这是一节几何课，是探索三角形全等的条件（2）第2课时，主要要求掌握垂直平分线的性质及进一步掌握对三角形全等条件的应用。这节课我自认为是上得较成功的一堂课，它让学生的思维充分地活跃起来，其成功点就在于问题设置的很巧妙。课件演示想一想：如图，已知要说明，还需增加一个什么条件？
同学们的手一个一个举得高高的，期待着我能叫到他们。于是我先请了一位程度较差的学生加第一个条件，他马上加了BC=EF，利用了“SSS”。我又请了程度中等的同学加第二个条件，他也毫不犹豫地加了，利用了“SAS”，同样我也肯定了他。此时手都放了下来，其他同学要加的条件都已出来了，我又反问了一句：“还有其他加法吗？”同学们陷入了沉思。突然，有位同学的手高高地举了起来，其他同学的目光一下子聚集到他身上，我抓住机会马上请他回答。“老师，还可以加BE=CF。”有了他的这一点拨，下面的同学如梦初醒，“哦，真聪明！”我又反问一句：“为什么呢？”这下所有的同学举起手来，我还是请了这位同学来解释。“因为若BE=CF，BE+EC=CF+EC，也就是BC=EF，就可以利用‘SSS’了。”其他同学都鼓起掌来，都觉得非常有道理，同时也是为他敏捷的思维能力而鼓掌。
4、重视变式训练，培养学生的数学思维能力。
数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。我觉得加强数学教学中的变式训练对培养学生数学思维能力有很大的帮助。
变式其实就是创新。实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。
当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。大致的类型有：多题一解式，一题多问式，一题多解式，一题多变式等等。
（1）多题一解，通过变式让学生概括基本规律，培养学生求同存异的思维能力；
如：三道应用题，都用一个解题思路。A、小红家今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入是增加，还是减少？B、某企业有A、B两种经营收入，今年A种年收入是B种的2倍，预计明年A将减少10%，B将增加18%。问明年总收入是增加还是减少？C、甲、乙两个油桶中装有体积相等的油。先把甲桶的油倒一半到乙桶，再把乙桶的油倒出1/3给甲桶。问结果哪个桶中的油多？三题一解，让学生掌握这类题的解法。
（2）一题多问，通过变式引申发展，扩充、发展原有功能，培养学生的创新意识和探究、概括能力。
教学中要特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。如：有道例题：化简并求值
，其中；针对这题我又补充了道例题：，其中。这两题有类似之处，学生已能将补充的例题转化成我们熟悉的例题，拓展思维，并很好地掌握代数式。
数学教学应该设计成为学生进行数学知识的“再发现、再创造”过程，从而培养学生创新意识和问题的探索过程。波利亚曾说：“在证明一个定理之前，你必须猜想这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想。”“从具体问题出发，通过观察实验建立猜想，经过分析论证概括出规律，再深化应用指导解决具体问题”的数学知识形成过程是培养学生创新意识的一种教学思想 。
（3）一题多解，通过变式，培养学生发散思维的能力，培养学生思维的严密性。
这里的一题多解有两层意思：一是一个题目有多个答案，二是同一题目有多种解法。如：用火柴棒搭正方形问题，搭个正方形需几根火柴棒，有好几种解法：如从3个方向看，上、下各要根，竖的要+1根，共需根；如第一个正方形要4个，以后每增加一个正方形要增加3根，共需根；如把第一个正方形看成1+3根，以后每增加一个正方形增加3根，共需根。
再如，已知试比较与的大小（用不同方法来比较）。学生的思维开始发散开来，第一种：利用不等式基本性质2，， ，即。
第二种：利用不等式基本性质3，，。
第三种：利用数轴来说明，在数轴上分别表示出与的大致位置，从而可以比较出大小，。
第四种：利用作差法，，，。这种方法较常用，要求每位同学能掌握。通过用不同方法来解同一题，不仅发散了学生的思维，而且还能让学生在不同方法中巩固不同的知识点，并且在思维中积累不同的解题方法。
马斯洛夫的需要层次理论认为：每个学生都有自我实现和被重视的需要，都有重视个人尊严与价值的愿望，都有充分挖掘和发展自身潜能的倾向和“独树一帜”的渴求，并通过自己的创造性活动完善自身、实现自我。因此在教学中要重视数学知识的探究，为满足学生求异心理的需求，发挥习题的变式功能和解法的多样性，让学生感受因创新而带来的成功喜悦。
学生通过类似的“变式”练习，不仅有利于彻底根治多值问题中漏解的毛病，而且学生的探索创新意识会逐步增强，数学思维的严密性也得到培养。
（4）一题多变，总结规律，培养学生思维的深刻性。通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。
伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。
例：甲、乙两车分别同时从相距210千米的A、B两城相向开出，甲车每小时行40千米，比乙车每小时快10千米，几小时后在途中相遇？ 在解答完例题之后，教师可对本例作以下变式，（1）把“两车同时开出”改为“甲车先出发１时” （2）把“两车相向而行”改为“两车朝AB方向同向而行”（3）把本题改为“甲、乙两车分别同时从相距210千米的A、B两城相向开出，1小时后,乙车以每小时比甲慢10千米的速度从B城开出，3小时后在途中相遇，求甲、乙两车的速度？”这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、追及问题等行程问题的基本类型。这样通过一个题的练习既解决了一类问题，又归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而不能自拔。
综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的解答的基础上，进行适当的变式训练，对巩固基础、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，从而培养学生多角度、全方位考虑问题的能力，非常有助于学生提高分析问题、解决问题的能力。
四、结束语
要提高学生的思维能力，最根本是要培养学生的思维能力，数学教学与思维密切相关，数学能力具有和一般能力不同的特性，因此，发展数学思维能力是数学教学的重要任务，我们在发展学生数学思维能力的努力中，不仅要考虑到能力的一般要求，而且还要深入研究数学科学、数学活动和数学思维的特点，寻求数学活动的规律，培养学生的数学思维能力。
除了培养学生的思维能力外，还有一点也很重要，就是学生听课的注意力，若学生注意力分散，再多的方法也提高不了学生学习的有效性。
学生的学习方式就像他的指纹一样独一无二，我们越是很好地认识到这种方式，我们就越能帮助他成功地学习数学。如果学校的课程是以学生感到困难的方式传授，那么，他们的天分将很难被挖掘出来。如果在数学教学中优化教学过程，就可以帮助我们发现学生所具有的学习能力和潜在能力，知道如何为这些能力提供帮助，用我们的教学风格影响学生的学习方式，以培养学生更好更敏捷的思维能力。
参考资料：
1、《中小学数学》（2004第4期）
2、《数学教育改革与研究》2004年3月
3、《教育碎思》
4、《全国中小学教师继续教育》
5、《数学观与方法论》
6、《思维发展心理学》