谈数学归纳法在物理中的应用
应用数学方法处理物理问题是高中物理教学大纲明确指出的一项重要教学内容 ，也是高考能力考察的重要组成部分，同时也体现了数学这门学科的工具性和实用性，加强学科间的渗透，强化对学生能力的考查。 例：我们在火车站常看到载重列车启动时，机车要往后倒退一下，目的是使各节车厢之间的挂钩都离开一段距离，以便于启动，这是因为机车和车厢与铁轨之间的最大静摩擦力大于它们之间的动摩擦力，若机车不倒退直接启动，启动以后机车和车厢与铁轨之间的摩擦力由静摩擦力变为动摩擦力，当列车加速到一定的速度后，列车的机车就必须减少牵引力使列车匀速直线运动，资源不能得到充分的利用，所以载重列车常常采用我们所见到的启动方式启动。今有一列载重列车，若它不倒退以恒定的牵引力直接启动，机车的牵引力能带动49节车厢（不含机车），那么它利用倒退后用同样大小的恒定牵引力启动，该机车启动59节同样质量的车厢以后，恰好做匀速直线运动，已知机车与各节车厢的质量均为m，机车和各节车厢与铁轨之间的动摩擦力为μmg，假设机车倒退后，各节车厢之间的挂钩离开相同的距离s，机车加速后，每拉动一节车厢的瞬间可近似地认为满足动量守恒定律的条件。求：（1）每一节车厢与铁轨之间的最大静摩擦力？（2）列车采用机车倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度？（最终结果可以用根式表示）
解：（1）设每节车厢所受最大静摩擦力为fm，机车的牵引为为F 直接启动时，有 F=（49+1）fm （1） 当采用倒退方式启动时，有 F=（59+1）μmg （2） 由①、②两式可得：fm=1.2μmg （3） （2）设第一节车厢被拉动前，机车的速度为V1，被拉动后，机车的速度为V1′ 由动能定理有 （4） 由动量守恒定律有 （5） 由 ④、⑤得 （6） 设第二节车厢被拉动前，机车的速度为V2，被拉动后，机车的速度为V2′， 由动能定理有 （7） 由动量守恒定律有 （8） 由 ⑦、⑧得 （9） 同理可得 （10） 由数学归纳法有 （11） ∴ （12） 即，列车采用倒退的方式启动后做匀速直线运动的速度为 ： 本题由于题干设计新颖，又是紧密联系现实生活，特别是对机车倒退式启动过程的具体分析是本题的一大难点，既反映了物理知识在生活中的应用，同时，也充分体现了利用数学知识解答物理问题的重要性，对学生的能力考查是一道很好的应用题。