投资组合的基本理论(三)

的情况下，值在~0之间。
1.3.2有效投资组合
构建投资组合的合理目标应该是在给定的风险水平下形成一个具有最高回报率的投资组合。具有这种特征的投资组合叫做有效的投资组合。投资组合由证券构成，为了理解投资组合，必须理解结合证券的效果。
 为具体化，假定证券1比证券2的预测收益率和标准差更低。
 
      
 
 一个组合的特征是由投资于两种证券的比例来确定的。价值的加总当然必须为1。
 
 
 
 预期收益依赖于投资于不同证券的比例。在这一情况下，
 
                    （1-7）
 
 收益的标准差也与投资组合的构成相联系。在这一情况下。
 
            （1-8）
 
 在某些特殊情况下，投资组合完全由一种证券构成，相互关联不再有意义。一般而言，依赖于两种证券收益率相互关联的程度。
 若收益率完全相关时，即，可化简得到：
 
                    （1-9）
 
 若收益率不完全相关，我们将公式变为：
 
          （1-10）
 
 （1）每一种证券均持有一些（）
 （2）没有一种证券承诺肯定收益（）
 那么在这种情况下，公式中括号内的部分将为正值，也就是说，越小，则越小，越小。也可以将分析扩展到三种证券，假设为证券1、2、3，可将1、2看作一个组合，求出其预期收益和标准差作为一种新的证券再与证券3组合。也可以两种不同的组合、，再共同组成组合，为组合中投资于组合的比例，为组合中投资于组合的比例。令为组合投资于证券的比例，为组合投资于证券的比例，为组合投资于证券的比例。显然有：
            （1-12）
 
 任何一种证券可以被图形上的一个点所描述。任何一个组合也是如此。取决于加诸于投资者的限制条件，只有某些组合是可行的（合法的、可得的）。一般来说，任何两个可行组合的结合将也是可行的。如果是这样，代表可行组合的点将全部填满图形的某些区域。区域将沿着它的上（有效）边界凸出。
 可行性边界的形状将取决于加诸于投资者的限制条件。有效边界也许是线性的，但如果两个组合沿着有效边界的线性部分绘出，那么它们的收益必定是完全相关的。
 出于决策的目的，不确定性以收益的标准差的方向表示；出于计算的考虑，标准差的平方，收益的方差，时常是更方便的。基于这个道理图也可以转化成对应的图。它除了具有上面所介绍的计算优势外，它还在图形上使有效组合边界看起来更加弯曲，更加明显。
 组合分析要求求出一个最优化问题的解。这样的问题通常包括：
 （1）一个或更多的决策变量；
 （2）一个或更多的限制条件；
 （3）一个被最大化或最小化的目标。
 假设何先生的个人无差异曲线在图上是一族平行线，在现实生活中不会有人有这样的无差异曲线，但设计这样的偏好是绝对利于分析的。何先生的问题是发现位于最佳的可得到的无差异曲线上的可行的结合。这一解有两个重要特征：
 （1）选择的组合将是有效的；
 （2）在选择的点上，有效边界与无差异曲线相切。
 何先生的任何一个无差异曲线的方程都能够表述为：
 
                     （1-13）
 
 其中为直线的横截距，为斜率。那么哪条曲线最好呢？由于它要与有效边界相切，所以是最左边的最好，即求满足条件的最小，则方程改写为：
 
                    （1-14）
 
 因此完整的表述何先生的问题，应该是：
 （决策变量）选择
 （目标）最小化
         即：
 （限制条件）服从于的任何其他相关限制。
 区域有效边界有两个特别重要的特征：
 （1）在每一点它的斜率不同；
 （2）它是由对底部垂直的，变得逐渐平缓，直到到达顶端。
 如果何先生对每一个相关的一个个的求值，将得到有效组合的全部集合，最小化，对所有可能的的值。
 如果上述问题的限制条件只有投资比例的加总必须等于1这一条，那么这个问题就称为基本问题。在基本问题中，每一个的值将对应不同的有效组合。若组合和，分别是在和时得到的，那么任何一个与的中间值对应的有效组合能够被看作是组合和的结合。
 大多数组合分析问题太复杂，我们可以指定给决策变量的价值在许多方面受到典型的限制。这些限制条件采取等式或不等式的形式。要求将涉及决策变量的所有项放在左边，将限制条件放在右边；左边的表达式是决策变量的函数。对于一个基本问题，加上等式限制不会显著影响解的性质，但如果加上不等式的限制，解的性质就会发生变化，解法也将不同。
 给基本问题加上一个或更多的不等式限制，变成标准问题（standard problem），他的形式是：
 最小化；
 对所有可能的值；
 服从于；
 加上其他线性等式限制；
 加上；
 其中是投资于证券的比例上限（upper bound）；是下限（lower bound）。
 至此，关于借入或贷出还没有明确阐述。贷出最好看成是对一种特殊证券、无风险

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