投资组合的基本理论(五)

认为，备选资产与原组合收益的相关系数不等于0时，标准Sharpe比率的结论有偏差。而考虑了二者相关性的广义Sharpe比率则不存在此问题。
 第三章  广义Sharpe比率用于择优决策
 Dowd给出了解决备选资产与原组合存在相关性时的决策思路，但他却没有研究如何在不同备选资产中择优加入已有投资组合的判据，而这却是大多数基金经理在实际操作中都会遇到的问题。因此，本文在Dowd的研究基础上，将Sharpe比率的应用范围从分析备选资产是否值得投资扩展到用于在不同备选资产中进行优化选择，以便拓展广义Sharpe比率的应用范围，并使其更具完整性。
3.1择优决策的判据
 为了讨论备选资产和均满足加入已有投资组合，但基金经理却由于资金等方面的限制而只能在二者之间选择一个进行投资时的决策判据。设资产与分别满足Dowd所要求的加入已有组合的条件，即、加入现有组合后均能提高新组合的Sharpe比率，且备选资产和与原组合的相关性不同。此时，要在和中择优进行投资，可以先分别计算出购买备选资产、后构成的新组合的Sharpe比率，然后将二者进行比较。如果，则优先购买，否则，优先购买。
 设新组合分别由、及原组合构成，且与在组合中的比例都等于，在新组合中的比例等于，则新组合收益分别为：

 
 新组合的风险标准差分别为：

 
 其中，为原组合的期望收益；为备选资产、的期望收益；为备选资产、的风险；为原组合的风险；为相关系数。
 则新组合的Sharpe比率可以表示为：

 
 （1）当时，得到现金基准下的广义Sharpe判据将公式（3-1）、公式（3-2）、公式（3-3）、公式（3-4），（其）
 代入中，得到：

 公式（3-7）即优先选择资产进行投资时的期望收益必须满足的条件。
 公式（3-7）可化为：
 
            （3-8）
 
 依据此公式我们可作图3-1。设、、均为定值，那么其横坐标为，纵坐标为，横坐标与纵坐标的交点为。直线即为：
 
            （3-9）讨论：
 ①当时，即分别加入备选资产、后形成的新组合的风险水平相同时，即上式中，则优先选择进行投资的条件为。此时的广义Sharpe比率判据（）等价于标准的Sharpe比率判据（），对应图3-1中的点。
 ②当即时，即加入资产后形成的新组合的风险水平要高于加入资产后的新组合风险，则在时，在的情况下才能优先选择资产进行投资；也即，与相比，值得优先投资的条件也越高，其理想收益也应更大。此时，依照广义Sharpe比率的判据时，才值得投资，即，从图形上看，就是处于图3-1中线左上方时才值得投资，而标准Sharpe比率认为，只有时，即处于上方就值得投资，因此当落在三角形之内时，按照标准Sharpe比率将做出优先投资于的错误决策。
 ③当，即时，即加入资产后形成的新组合的风险水平要低于加入资产后的新组合风险（此时），则依照广义Sharpe比率的判据时，才值得投资，即，从图形上看，只要落在线上方就可以优先选择资产进行投资；也即，的期望收益小于的期望收益时也可以值得优先投资，且越小，的理想收益就越低。而标准Sharpe比率认为，只有时，即处于上方时才值得优先投资，因此当落在三角形之内时，根据标准Sharpe比率将不优先投资于，从而错过了值得投资的机会。
 （2）当时，得到非现金基准下的优化判据
 同样将公式（3-1）、公式（3-2）、公式（3-3）、公式（3-4），（）代入中，得到：

 其中，为基准收益不等于0却被误当作0时对的理想收益计算的误差。
 从表达式可以看出：误差的大小不仅取决于，还取决于，只有当时，误差才等于0，其余时候误差皆不等于0。
 
3.2实例
 本节中，在上一节理论证明的基础上，我们给出一个实例，更加直观的说明基准收益不等于0却被误当作0时，对的理想收益计算的误差。
 下面给出一组具体参数，并用Matlab画图说明不同参数取值时的计算误差的变化情况。
 令，，，代入中计算出：
理想收益，若再令，则百分比误差为：当，时，百分比误差将在550%到-1450%之间变化，如图3-2。这说明，基准选取不合适将使理想收益的计算误差很大，从而也将导致投资决策可靠性和准确性的极大下降。
 
并附Matlab程序如下：
 
 x=-1:0.01:1;
 y=-0.5:0.01:1;
 [X,Y]=meshgrid(x,y);
 Z=(100*(9*Y-10*X))./(2+2*Y);
 surf(X,Y,Z),shading interp;
 colormap(cool);
 xlabel('x2'),ylabel('x3'),zlabel('Error%')

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