回归分析法对建筑物沉降变形的物理解释
［摘 要］ 变形监测可分为水平位移监测及垂直位移监测两种。监测过程中，通过测量仪器直接观测变形体的形变过程称为几何分析；运用函数或数学模型掌握其变型特征的过程称为物理解释。回归分析法是物理解释中常用的一种方法，通过变形建模，回归系数求取，相关显著性检验等最后对沉降发展作出远期预报。
［关键词］变形观测 几何分析 物理解释 回归分析 沉降预报值
变形测量就是按照一定的测量手段和观测方案以各观测等级规范的要求，利用测量仪器或专用仪器对建成的或在建的建筑物的空间位置变化进行监测、监视，并最终获得其变形规律及变形原因的测量过程。它可分为：水平位移监测和垂直位移监测。对于采集并处理变形监测数据的过程称为几何分析；对于通过数学建模来确定变形量与变形因子之间的变形规律并作出变形原因分析 、解释的过程称为物理解释。建筑物沉降观测就是对建筑物进行垂直位移的监测，其几何分析的过程下文不作详述，主要说明一下其物理解释的过程。
建筑物在建期间，随着荷载的逐步增加建筑物会发生一定量的沉降变形，而建筑物建成之后，荷载基本稳定，但它随时间的推移仍然要发生一定量的沉降变形。一定范围内的变形可视为正常，但如果超出某一限度就会影响它的正常使用，甚至危及安全。因此，必须对建（构）筑物进行沉降监测。
在监测过程中，通过沉降观测我们会精确地测出每期的沉降量及累计沉降量，然后根据实测数据作出定量分析，这就是几何分析。然而，根据实际项目需要，及变形监测规范的要求，仅作出其当前的几何分析是不够的，还要对建筑物的沉降规律、沉降原因等作出物理解释，以预报其远期沉降的发展趋势，从而能够更好地指导生产，使用，施工，维护等。一般建筑物在荷载达到稳定时，而且周围环境因素相对稳定的条件下，其下沉量将随着时间（变形因子）的推移继续发生变化。因此我们要确定物理分析的一般对象就是累计下沉时间（t）和累计下沉量（s）两变量间的关系。其中包括对建筑物在未来的某段时期内的累计下沉量、最大沉降量、沉降速率等的预报。
在数学中，变量与变量间的关系一般分为两类，一类是变量间具有确定性的关系，称为函数关系。即变量间可以相互精确求得。另一类是变量间不具有确定关系，而是存在一定的制约关系，称为相关关系。研究变量间的相关关系是回归分析的任务。回归分析就是从一组已获得的数据出发来确定变量间的近似定量关系式，即找出一个合适的函数表达式，并对这些关系的置信度进行检验，然后利用求得的关系式对远期沉降进行预报。在对建筑物沉降进行回归分析时，沉降时间（t）和累计沉降量（s）两变量间就是一种制约关系，不具备确定性。因此，符合回归分析的条件。
1、变形建模
大量的历史观测数据表明，当建筑物荷载稳定后，其沉降发展随时间的变化规律一般为：初期沉降较快，以后逐渐缓慢，最后达到稳定。所以，可以将其累计沉降量（s）与沉降时间（t）的关系拟合为双曲函数。根据一元线形回归方程的数学模型：y=bx+a （a为常数项；b为回归系数），应用换元法，即令：y=1/s ，x=1/t 。可建立回归方程为：1/s=b×1/t + a （双曲函数模型）。
1.1、求取回归系数b及常数项a
依据建筑物每期的实测累计沉降量及沉降时间求取回归系数b及常数项a ，《建筑变形测量规程 JGJ/T 8-97》第7.4.3条的规定，采用回归分析法，应以10个以上周期的长期观测数据为依据。计算参见算例：附表 2。
计算式，数学纯量表达形式为：
b=[（x-x均）（y-y均）] / [（x-x均）2]
a=y均-bx均 其中，
[x]—为高斯连续求和符号，等同于∑xi 。
x均—x变量的算术平均值。
y均—y变量的算术平均值。
1.2.相关显著性检验
为了检验回归方程的有效性及拟合的程度，也就是对回归效果好坏进行检验。这种检验是评价方程对总体的代表性的所谓线性相关关系的显著性检验，检验x与y是否具有线性关系，以及它们之间的密切程度。检验结果如果线性关系不显著或根本不存在线性关系，则说明所拟定的变形模型无效，不符合分析项目的沉降规律，宜重新建模。常用的检验方法有F检验法和相关系数检验法，本文采用后者，即根据样本数据，在给定的显著性水平下，分析x和y变量间的线性相关性。
1.2.1、求相关系数ρ
1.2.2、相关显著性检验
根据自由度N=n-2（n为选取的观测次数）及P（置信度）查相关系数临界表（见附表1）求取ρα，并比较与ρα的大小来进行相关显著性检验。≤1且≥ρα时，相关显著，拟合函数有效。否则无效，宜重新建模。
2.远期沉降预报
2.1、最大沉降量的预报
在进行相关显著性检验后，将求取的a、b代入关系式：
1/s=b×1/t + a ，整理得：s= t/（at+b）。那么，该函数的极大值便是累计沉降量的最大值smax 。不难推导，
2.2、远期任一时间的累计沉降量预报
只要求出从开始至预报时间段的累计沉降时间t，代入回归方程即可求出。
2.3、远期任一时间的沉降速率预报
沉降速率是反映建筑物在某时期内的沉降速度，通常我们也要对其作出统计和分析并绘制沉降速率曲线图。那么，远期某一时间其沉降速率V该如何预测呢？我们知道，曲线在某点的一阶导数即为曲线在该点的变化率。所以，沉降速率就是累计沉降量与累计沉降时间曲线在某时间的一阶导数。即：对s= t/（at+b）求导得， 。于是我们只要将累计沉降时间t代入上式即可求得沉降速率。
3、小结
回归分析法是对建筑物沉降的一种近似定量分析，即，近似描述。其置信度为∣ρ∣。它与实测结果存在偏差，因此不能代替实测值。但它可以近似定量地反映建筑物的整体沉降特性。尤其对远期沉降来说，这将通过实测是无法获知的。