如何让学生在自主探究中学习新知识 鲍松菊

如何让学生在自主探究中学习新知识 鲍松菊
 在初中数学教学中开展探究性学习活动，符合数学学习的特点和规律。它有利于学生在学习活动中真正理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，有利于培养学生数学探究能力、创造精神和实践能力，同时也能通过引发学生积极思维而产生对数学的兴趣。
通过设计探究性问题来开展课堂教学是深入进行数学教育研究的一种有效方式，根据学生认知结构及知识本身的系统性来设计研究性问题是一个数学教师深入钻研教材、建立自己教学特色的关键。本文拟给出《三角形内角和定理》证明的探究性教学案例研究。
 一．一则教学案例
 “授人以鱼，不如授人以渔”。最有价值的知识是关于方法的知识。数学新课标指出教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。浙教版七下第一章“1.1认识三角形”这节内容中，通过让学生开展数学试验折纸的方法，得出了三角形内角和为180o，没给出具体的证明。在学生学习了八上第1章的平行线定理和性质后，教师提出了如下问题：
 师：在七年级下时，我们曾经把三角形纸片折叠成一个矩形（图1-1）。由这个试验我们得出了三角形内角和定理：三角形内角和等于180o。但是，试验总会有误差，拼接有限个三角形还不足以说明所有的三角形都有同样的性质。现在，我们已经学习了较多的几何知识，请同学们想一想，如何用这些知识去证明它。（提出问题）
 （学生思考，开始动手，证明大约5分钟）
                
 
 师：谁能说一说证明过程？
 生：以上证明的方法是把三个内角折到一起拼成平角说明三角形的内角和等于180o，那我们能否把3个内角移到一个平角上，则这3个内角之和就等于180o。
 师：不错。这就明确了解题方向。但是，通过什么方法能把角移到一起呢？
 生：我通过作图来移角。在ABC中，做BC的延长线CE，这就得到了一个平角，并且在平角上已经有了一个内角。然后，在ABC的外部，做ACD=A，这样就把A移了过来。下面只需证明。（图1-2）
  
 
 （学生似乎对接下来的回答感到困难。）
 师：没事的，你能想到这一步就相当于打开了解决问题的大门，我们一起走进去解决这个问题。好！接下来请大家分组（前后4人为一组）动手画一画，想一想，相互讨论、交流，解决这个问题，最后我们交流探索的成果.
 师：好，谁来说一下。
 生：从图形上来看，是一对同位角，要证它们相等，可先证//CD，这由作法ACD=A（内错角相等）得知，确有两直线平行。
 师：对。由ACD与A的相等得出线AB与CD的平行关系，再由线的平行关系得出角的相等关系（）。这样，整个思路就通了。现在请大家用自己的方式来证明这个问题，也可以借鉴刚才同学的想法，要求用明确、规范的语言将其写出来。
 （教师让两位名同学作板演，然后巡视其他同学，看思路把握住没有，书写是否规范。有一名学生问：若作∠A=∠ECF，则证不出∠B=∠ECA（如图1-3），
 
                  
 
 师说：是的，这时不能运用平行线的性质。那能不能再想另一种移角的途径？
 学生思考了一会，高兴的说：老师我做出来了，作∠B=∠ECF就证出来了。示意该生板演）
 生：（板演）做∠B=∠ECF，则CE//AB
 ∴ ∠A=∠ACE                 ①
 ∴∠A+∠B+∠C                  ②
 =∠ACE +∠ECF +∠ACB      ③
 =180o                                         ④
 点评：学生围绕着如何用学过的知识来证明三角形内角和定理，此活动是以学生的主动参与及相互影响下展开的。学生在证明过程中的不同思路，丰富了学生数学活动的经验。
 （问题补充）
 师：对于这个问题，应该加某个条件使问题更加严密。大家可以在组内交流（学生开始讨论）
 生1组：开头加上“作BC的延长线CF”，“在ABC的外部”这句话不能少，因为内错角是在截线的两旁的。
 师：大家赞同他们的观点吗？
 生：赞同！
 生2组：在每步后面加上理由，如在①的后面加上，同位角相等，两条直线平行；在②的后面加上理由：两直线平行，内错角相等。
 师：大家说这个条件加得好不好？
 生（众）：非常好！
 生3组：在③的后面加上，等量代换。
 生5组：在④的后面加上，平角的定义。
 师：（总结）上面的同学把这些条件加上之后，使问题更加严密了。那么，这条定理要证3个量的和，我们取定一个量（）之后，就转化为两个量之和∠A+∠B=∠ACF。
 再从∠ACF中截取∠B=∠ECF，问题就转化为证明两个角相等∠A=∠ACE。
 这当中，我们延长了BC，又作了EC。这两条线（CE、CF），都是题目中没有的，是我们在原来图形上添画的线，叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。“怎样作辅助线”是几何学习中的一个难点，今天是第一次“亮相”。
 点评：教师引导学生在组内交流，学生围绕着补充说明展开讨论，在小组交流中每个学生提出了自己的思考，学生通过小组交流补充和完善了各自的想法，从而使以小组为单位的学生在班级交流中展示了四种正确的补充方案，使得每一位学生在交流中相互启发、相互影响、相互作用。
 师：还有其他的证明方法吗？
 生2组：过点C作一个平角，然后用内错角相等，把∠A、∠B都平移到平角上。为了省事，我过C作EF//AB，则由“两直线平行，内错角相等”便有（图1-4）
  
 
 ∠A=∠ACE，∠B=BCF，相加就得出了证明。
 师：这是个好主意，你是怎么想到的呢？
 生：以前做过类似图1-4的作业，知道会得出内错角相等，计算过3个角之和等于180o。
 师：非常好！当然，也可以为此作，然后反向延长EC来证明，区别是少用一次平行线的性质定理，多用一次平行线的判定定理。与1-3相比较，图1-4可以认为是平角BCE绕点C作了旋转，使CE与CF重合。
 （突然一生举手，似灵机一动，我示意他发言）
 生：老师我从你的分析，想到了还可以这样证明，将图1-3中点C引出的4条射线沿CB方向平移，得出图1-5来证明。
 师：这位同学的知识迁移能力很强，图形的平移和旋转都是图形的变换，实在是太棒了。将平角的顶点从角上移到了边上。那你能给出证明吗？
 （学生自己说不下去了）
 师：没关系，你给我们指出了另一种证明三角形的内角和定理的方法。我们一起来解决这个问题。好，谁能来证一下。
 生：过BC上一点M作AB和AC的平行线，分别交AC，AB于P、Q，分别证明，由平角的定义，可得三角形的内角和为180o。（图1-5）
 
  
 师：很好，思维能力很强。几位同学的证明思路清晰，证明简洁，充分体现了数学的简单美、和谐美与统一美。大家想了很多证明定理的方法，共同点是作两条射线，将3个分散的角集中到平角上。关于定理的证明，大家还有什么要说的？
 点评：这个活动是学生创新的过程，又是学生思维展示的过程。这是教师引导学生张扬个性的过程，学生再次创新的过程。
 一生：老师，刚刚同学的证明将平角的顶点从三角形的顶点移到边上，那能否将顶点移到三角形的内部和外部呢？
 师：好。按空间顺序来，从内部到边上到顶点到外部。“千古数学一大猜。没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现”（华罗庚语）。猜想总是正确的吗？
 众生答：不是！
 师：好！接下来请大家组内讨论、交流，依次解决这2个问题，最后我们交流探索的成果。（教师巡视，让两个小组同学的证明加以整理，用投影展示，让同学们分享。）
  
 组1（理由略）：如图1-6，过ABC内一点D，作AC的平行线ST交AB、BC边于S、T，作BC的平行线QR交AB、AC边于Q、R，作AB边的平行线MN交AC、BC边于N、M。
 ∵MN//AB  ∴∠B=∠NMT   ∵QR//BC ∴∠NMT=∠NDR ∴∠B=∠NDR。同理，可得∠C=∠SDQ，∠A=∠MDT。
 又∵∠MDT=∠SDN
 ∴∠A+∠B+∠C=∠MDT+∠NDR+∠SDQ=∠SDN +∠NDR+∠SDQ=180o
 组2：如图1-7，过点D作AC平行线ST交AB于T，作BC的平行线QR交AC于R，作AB的平行线MN。
 ∵AC//ST  ∴∠A=∠STA  ∵AB//MN ∴∠STA=∠SDN  ∴∠A=∠SDN
 同理，∠B=∠QDM，∠C=∠RDT  ∵∠SDN=∠MDT 
 ∴∠A+∠B+∠C=∠SDN+∠QDN+∠RDT=∠MDT+∠QDN+∠RDT=180o
 点评：学生在同伴的启发下，从平角顶点的位置移动，想出了两种新的证明方法。教学活动的展开是在学生主动寻找，师生相互启发、相互影响下学生自我构建证明的过程。
 师：同学们还有其他的证明方法吗？
 一生：老师，我这样证明可以吗。我想，前面我们证明定理用了“两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等。”那能用“两直线平行，同旁内角互补”吗？我想了想：可以。这时，移一个角就够了。
 如图1-8，在ABC的外部，以AC为一边，作。则AB//CE（内错角相等，两直线平行）。
                     ⑤
 =（等量代换）           ⑥
 =180o（两直线平行，同旁内角互补）。 ⑦     
 
 另一生：我的是反过来，过点C作AB的平行线CE，则，
 ∠B+∠BCE=180o =∠ACE+∠ACB+∠B=∠B+∠BCE=180o，
 师：两位同学独辟蹊径，灵活运用平行线知识解决了问题。
 点评：教学围绕更简单的方法又一次展开了教学活动，提出问题的学生暴露了自己的思维过程，给另一个学生新的启发，因此另一个学生用逆推的思想导出了新的证明方法，学生在这一创新的环境中生成了新的学习内容。
 二．案例分析：
 本教学案例充分展现了“情境—探索—交流”这一教学模式，这是《新课标》理念指导下的数学活动课的尝试。虽然其中还有许多环节需要一步改进完善，但其较为真实地反映了目前数学课堂教学的一些情况。本教学案例主要体现了以下几点：
 1．促进了学生动手实践、自主探索与合作交流
 本教学案例没有像往常几何教学那样直接给出解决问题的方法，然后再让学生加以证明；而是突出学生的主体性,使学生通过对直观图形的观察、得出策略，自己去发现寻找解决问题的策略，在对这些结论检验时，采用了合作交流的方式。
 学生们在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己解决问题的思路，并有机会分享他人的想法，学生们在亲身体验和交流中寻求证明三角形内角和定理的多种策略，解决所提出的问题，在交流和理解中掌握基本图形中所涉及的基本数学知识、技能和方法，数学学习变成了学生的主体性、能动性、独立性不断生成，张扬和发展、提升的过程，这一点与《新课标》所倡导的理念非常相符。《新课标》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。……数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。
 在本教学过程中学生是在愉悦、和谐的气氛中度过的，并且自始自终处于主体地位，他们的兴趣与动机，意志与自信，情感与态度都得到了很好的发展。
 2．培养了学生的问题意识
 本教学案例创设了开放的教学情境，以提出问题和解决问题为中心，注意学生自主探索与合作交流、重视数学联系与知识建构，充分关注学生数学学习中的情感与态度，通过创设问题情境，引起学生学习数学的兴趣，启发思维，激起学生的好奇心、发现欲，诱发质疑、猜想，让学生在有效的数学思考时间和空间内形成和发展问题意识，提出问题；而且本案例中，教师注重培养学生发现、提出问题的思想方法——合情推理，主要是利用一般化、特殊化、类比和归纳等猜想、质疑和提问。
 在整个教学过程中，学生始终带着问题自主探索，并在探索过程中进一步提出问题，分析问题，最后解决问题。通过生生、师生之间的合作交流，突出了教学重点，突破教学难点，达到教学目标。正如《新课标》指出：要让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演泽推理能力，初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题”。问题意识的培养不仅有利于学生的学习方式从接受式向活动式，从模仿性向探究性转变，而且有利于学生主动建构数学知识的意义。
 3．转变了教师的角色
 与传统教学不同，在本教学案例中教师已由课堂单一的数学知识传授者的角色向数学学习活动的组织者、引导者和合作者转变。无论从问题情境的创设，合作小组的组成、探索成果的交流，教师都经过了精心设计，组织学生营造和保持学习过程中积极的心理氛围，活泼的参与气氛，真正成为学生学习的引导者和合作者，引导学生经历“数学化”，“做数学”“用数学”的过程，与学生平等地交流；当学生陷入困惑，思路受阻时给以恰到好处的点拨，搭建“脚手架”使学生将面前的问题与自己原有的知识经验之间建立联系，解决问题。
 在师生的合作交流下，共同归纳问题，看透问题的本质，教师为学生营造了一个激励探索和理解的气氛，提供小组内、小组间合作、讨论、交流的模式。
 在成果交流中，教师积极引导学生表达所发现的数学规律，表达发现的过程，将成果与同学分享、交流，在为同学解决疑惑中增强自信，进一步探索问题，解决问题，使整个学习过程充满挑战。
 当然，对于学生认识不深刻的问题，教师根据学生的认知水平，适时引导，与他们合作交流，达到基本目标。这也正是《新课标》所倡导的“学生是学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”，教师在整个教学过程中一直与学生保持平等关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容氛围中受到激励和鼓舞，得到指导和建议。
 三．存在的不足
 1．学生的参与性还不够
 《标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”因此在本节课的教学中，我适当采用了这种新的学习方式，从学生的发言积极性、讨论的热烈度、所得结论的多样性等来看，他们实实在在地进行着观察、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这对提高学生从事数学活动的能力，促进自身的整体发展有着很大的帮助。但在欣喜之余也存在很多担忧，可以说学习困难生的参与是不积极的，往往出现“能者多劳”的现象，这样会导致两极分化。如何让弱势群体的学习变得更主动，是我面临的一个较大的也急需解决的难题。
 2．在教学中更需要循序渐进
 培养学生应用数学的意识和提高解决问题的能力应该是一个渐进的、长期的过程。因此教学中教师需要耐心，需要多给学生提出、认识和理解问题的机会，鼓励他们从不同的角度、不同的途径来思考和解决问题，从而使学生在数学化的过程中真正实现“再创造”。
 总之，反思这一节课，应该说是有得有失，得的要继续发扬，失的则要在今后的教学实践中逐步弥补，从而不断完善自我、发展自我。
 参考文献
 1、《数学课程标准》  XX师范大学出版社2001年出版
 2、《教育新理念》    袁振国著 教育科学出版社2007年出版
3、《义务教育课程标准实验教科书》七年级下、八年级上  浙江教育出版社2005年出版
 4、《中学数学教与学》2005年第5期 《初中探究性学习活动的设计》
5、《新课程理念与初中数学课堂教学实施》 关文信著 首都师范大出版社2006年出版

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