结合数例谈谈如何用好函数定义域

 函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的思维品质是十分有益的。本文结合数例谈谈如何用好函数定义域。
 1  确定函数定义域的原则
当函数y=f(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
    当函数y=f(x)用图像给出时，函数的定义域是指图像在x轴上投影所覆盖的实数的集合。
    当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合。
    当函数y=f(x)用实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。
    基本上可分为自然定义域与限定定义域两类：如果只给函数的解析式（不注明定义域），其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围，称为自然定义域；如果函数受应用条件或附加条件所制约，其定义域称为限定定义域。
 定义域经常作为基本条件（或工具）出现在高考试题中，通过函数性质或函数应用来考查
具有隐蔽性，不为人们所注意，即主要求限定定义域，所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点，以先分析定义域来帮助解决问题。
 2   函数定义域的解题功能
 2.1  导向功能
    函数的定义域对许多数学问题的求解，有着明显的导向作用，优先考虑定义域，有助于启迪思路，理顺解题线索。
    【例1】  解方程
     分析：用常规方法求解，难以奏效，构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。
     简解：考虑函数f(x)=,定义域为
           当x＝－1时，f(-1)=2
           当x1时，易证f(x)为增函数，故有f(x)f(1)=>2
            原方程的解为

 2.2  简化功能
   巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。
 【例2】  判断函数f(x)=的奇偶性。
 分析：从定义域入手可化简解析式。
 简解：函数的定义域为
            f(x)=
            f(－x)＝－f(x)
            为奇函数
 2.3  显隐功能
    从函数的定义域出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。
【例3】  已知,求的最大值。
 分析：已知等式有两个作用，一是可将用x表示—消元，二是确定x的取值范围—定
 义域。
       简解：由 得
                得
            ，
 2.4  制约功能
 函数由定义域和对应法则确定，函数图案和性质受定义域制约，因此从定义域出发研究函数问题是一种行之有效的方法。
     【例4】  求函数f(x)=的递减区间。
      分析：三角变形是定义域基础上的恒等变形。
      简解：f(x)=
            其定义域为
            减区间为
 3  函数定义域的外延
3.1  数列问题
 函数的定义域实质是变量的允许值范围，在高中数学的其他内容也有涉及变量的，都应及时考虑其取值范围，在数列题中，n就是一个变量，应关注n的取值范围解题。
 【例5】  已知数列满足的前项和，＝1，求。
 简解：当时，
       
       
       
       
       
 3.2  解析几何问题
 在解析几何求曲线的方程中，动点P(x,y)就是一个变量，所以在求出的轨迹方程中应考虑其纯粹性。
    【例6】  设抛物线(p>0)的准线与x轴的交点为M，过点M做直线l交抛物线于A，B两点，求线段AB中点的轨迹方程。
     简解：设P(x,y)
           M(-p,0)  可设l：y=k(x+p)
           再联立方程
           得到
          
          
           又
          
           消去k得：  (x>p)
 3.3  排列组合题
 在排列数与组合数中，n也是一个变量，应考虑n有意义的取值范围。
 【例7】  求值
      简解：联立方程 5－n≧0
                  9－n≧0
                  n≧5-n
                  n+1≧9-n
            得到4≦n≦5
            当n＝4时，原式＝5
              当n＝5时，原式＝16

 定义域虽小，但它对数学问题的解决有一石激起千层浪的效应，忽视定义域对解题的影响，很有可能会落个“一着不慎，满盘皆输”的下场。