(5.40)
为了进一步降低变化周期情况下的灵敏度，可以给出N的约束为：
(5.41)
图5.6画出了具有3个加权环节时的重复控制器的幅频特性。由图中可以明显看出，加权后的幅频特性曲线(=3)在基本重复控制器幅频特性(曲线的上部。因此，此结构重复控制器在谐波及其两侧较宽的频率范围内，其增益是很大的，这使得重复控制器对基波、谐波及谐波附近一定范围的频带扰动信号具有很强的抑制作用。同时，在整个频率范围内，该结构的增益均比基本结构的重复控制器的增益高，因而其扰动抑制能力比基本重复控制器强。这种结构对扰动周期变化的灵敏度较低，鲁棒性增强。对于两个记忆环的情况(＝2)，由式(5.36)和式(5.40)得到：
(5.42)
从而。经过推导可得到具有N个加权项的鲁棒重复控制器传函为：
(5.43)
图5.6 引入加权环节时的重复控制器的幅频特性
周期不确定单轧辊偏心扰动的鲁棒重复控制系统
图 5.7 采用鲁棒重复控制器结构的厚度控制系统
图5.7为轧辊偏心扰动时的采用鲁棒重复控制结构的板带厚度控制系统结构图。图中为偏心扰动，为对象补偿后的nxn传递函数矩阵对于偏心控制广义控制对象，和第四章类似，有：
为重复控制器的nxn有理、稳定的传递函数矩阵，且是严格正则的，是正则的。
系统稳定性分析
由图5.7，有：
(5.44)
经过推导得：
(5.55)
即
(5.56)
图5.7可以等效为图5.8
图5.8 图5.7的等效结构原理图
当系统满足下列条件时系统是稳定的：
⑴ (5.57)
是稳定的；
⑵ (5.58)
式中：
⑶ (5.59)
的选择原则为：选择应使成为对角优势(或对角主导)矩阵，且对角元接近于1；为对角矩阵，且对角元的幅值应较小，以改善系统的稳定性。
系统动态性能
系统输出为：
(5.60)
因此可得系统在输出端的灵敏度函数为：
(5.61)
式中：
(5.62)
利用该灵敏度函数来估计系统扰动的抑制能力。系统灵敏度函数(特别是系统处于低频时)的最大奇异值应较小，如果在低频时接近于单位矩阵，按上文所述方法选取，则在输入信号频率的整数倍处奇异值远小于单位1，在这些频率上可得到系统较好的偏心扰动抑制效果。
系统鲁棒性分析
系统在输出端补灵敏度函数为：
(5.63)
并有。
如果补灵敏度函数取较小奇异值，则系统在乘积非结构不确定情况下仍能确保稳定。因此为了保证对非结构不确定的较强的鲁棒性，一般取为对角矩阵并具有低通特性，也应具有低通特性。
系统仿真
针对第三章给出的轧机轧制规程进行仿真，入口厚度1mm，出口厚度0.5mm，
图5.7中的重复控制器采用两个加权环节，其中。取，，轧辊偏心信号，当时，系统仿真结果见图5.9
图5.9 时轧机出口厚度仿真结果
图5.10 时轧机出口厚度仿真结果
图 5.11 时轧机出口厚度仿真结果
;当，且不改变重复控制器的延迟周期时，系统仿真结果见图5.10；当，不改变重复控制器的延迟周期时，轧机出口厚度见图5.11。从图5.10～图5.12中看出，当波动时，轧机出口厚度变动不大，因此采用鲁棒重复控制器对周期波动的扰动信号的抑制是有效的。
多周期偏心扰动的鲁棒重复控制系统
系统的结构及稳定性
图5.12为双周期不确定偏心扰动鲁棒重复控制的厚度控制系统结构图。如前面所述，两个重复控制补偿器必须连接起来(见图中较粗的线)，否则系统难以稳定，多周期时可以按此方法扩展。图中为没有重复控制器时系统的开环传递函数矩阵，它为nxn的稳定、有理传递函数矩阵，它的逆也是稳定的。，是nxn稳定有理传函矩阵，且是严格正则的，是正则的。由图5.13得：
图5.12 双周期扰动鲁棒重复控制系统
(5.64)
式中：
(5.65)
(5.66)
因此图5.12可以等价于图5.13。
定理 5.3 由于是稳定的，如果输入是有界的，则根据小增益原理，如果闭环增益小于单位1，则该闭环系统是稳定的，是有界的。也即：
(5.67)
式中：
(5.68)
由于矩阵的谱半径为矩阵的特征根绝对值的最大值，是稳定的，所以
图 5.13 图5.12的等价原理图
有界意味着系统偏差是有界的。除了和有关外，其它稳定条件类似于单周期输入的MIMO系统稳定条件。利用三角不等式和Cauchy~Shwartz不等式，同时因任何矩阵的相容范数不小于其谱半径即谱半径形成任何矩阵相容范数的下限，式(5.67)可以进一步简化，得到和周期相关的稳定条件。对于任意，考虑到
(5.69)
(5.70)
当满足下式条件时，该双输入双输出(BIBO)系统稳定：
(5.71)
式中为矩阵相容范数。
和单周期时重复控制一样，为了满足上式的稳定条件，需在被控对象前加前置补偿器，使补偿后的广义对象成为对角主导的矩阵；选择使成为对角占优，且的元在频带内接近单位1；选择对角矩阵且在高频区具有快速衰减特性，同时因系统性能原因，在频带内选择接近于单位阵。
双轧辊偏心扰动的鲁棒重复控制系统仿真
图5.14为双轧辊偏心鲁棒重复控制器抑制的厚度、张力控制系统结构图。
图5.14 双轧辊偏心鲁棒重复控制器抑制的厚度、张力控制系统
系统控制对象仍采用式(4.21)，同时对象解耦还采用上一章逆奈奎斯特方法。按照第三章给定的这种规程，厚度控制时，，，，，偏心信号，轧机轧制速度5m/s。当时，系统厚度输出的仿真结果如图5.15所示。当时，不改变鲁棒重复控制器参数，系统厚度输出波形见图5.16。两种情况下的PID参数分为。
图5.15 系统厚度输出波形
图 5.16 时，不改变鲁棒重复控制器参数轧机出口厚度
从图5.15和图5.16的厚度输出仿真结果可以看出，鲁棒重复控制器对轧辊扰动周期波动具有很强的抑制作用。采用这种结构时，系统不必在工作点附近频繁改变重复控制器参数。
本章小结
本章针对轧辊偏心信号的周期波动或测不准情况，提出了一种鲁棒重复控制器的结构。首先从理论上说明了所提出的鲁棒重复器较常规重复控制器对扰动信号抑制能力强的原因，也说明了它是两种重复控制系统设计方法之一；其次采用鲁棒重复控制器对单、双轧辊偏心扰动厚度控制系统进行了仿真，仿真结果证明了这种鲁棒重复控制器的有效性。
厚度控制过程的轧辊偏心扰动数字鲁棒重复控制
本章针对厚度控制过程中的偏心扰动问题，提出厚度控制系统中单轧辊偏心、双轧辊偏心及多轧辊偏心扰动的鲁棒数字重复控制抑制设计方案。厚度控制方案中采用流量AGC和反馈AGC结合的控制结构[85]，避开测厚仪测厚检测滞后所造成的系统不易稳定的问题。并对控制方案进行理论分析和仿真研究。
重复控制因其对扰动信号的基波及其谐波的良好抑制性能在诸如机器人控制、伺服控制等方面获得成功应用。但是，重复控制中有两个基本问题必须解决。首先，当系统不确定存在时，必须设计鲁棒重复控制器抑制扰动；其次，对于非谐波成分(其频率介于基波与谐波以及谐波频率之间)的扰动，必须增大常规重复控制的放大倍数。
实际的轧机被控对象的数学模型具有不确定性。鲁棒控制是解决系统存在的不确定性的强有力工具，已成功应用到伺服控制系统 [86～88]中，并且在带钢轧制如厚度[89～92]、活套[93]中得到一定的应用。本章设计的基本思想是将鲁棒重复控制问题 经过线性分式转换（LFT）成为标准鲁棒最优控制问题，然后利用MATLAB控制箱中的分析和综合标准数字优化软件得到结果[94,95]。设计难点是：基于重复控制的嵌入式内模在N很大时将造成严重的计算问题，或不能获得补偿器结果或得出错误的结果。既使得到了正确的结果，利用现在的数字处理器，高的阶次也会使计算花费很多时间，甚至无法在规定时间内完成计算任务。对于连续时间重复控制系统，Guveac于1996年利用结构奇异值提出一种鲁棒稳定和鲁棒性能分析结构，系统结构奇异值的上、下确界分别用1和－1代替内模来近似估计。然而，因用1和－1近似，这种近似估计只有当延迟充分大时才比较准确。Guveac没有给出判断延迟大小的标准，当延迟不够大时，不稳定的系统会被曲解为稳定系统，所以给应用这种结构带来困难。因为进行近似估计时，控制器需满足相位条件，所以它不能用来综合。因此迫切需要有一种实际能用来综合和分析重复控制鲁棒稳定和鲁棒特性的结构。本章将提出几种重复控制器结构处理不同的轧辊偏心问题。引入虚拟不确定将补偿器的阶次减小到被控对象的阶次。为了给分析和综合带来方便，给出了实现鲁棒稳定和鲁棒特性充分条件。当重复控制的延迟趋向无穷大时，给出的充分条件将变为充要条件。本章首先简要回顾基于数字重复控制的内模结构，以解释重复控制器对于周期扰动如何获得满意的特性；其次提出了采用嵌入结构的单轧辊偏心(基波)扰动鲁棒重复控制器结构；再次提出了轧辊偏心(基波和二次谐波)扰动的鲁棒重复控制器结构；最后扩展到多轧辊偏心的鲁棒重复控制系统结构。将相应结构应用于轧机厚度控制系统并进行仿真。
数字重复控制器抑制扰动信号的原理
本节将对重复控制进行简单回顾[96,97] ，解释在离散时间情况下重复控制如何对于周期性扰动信号获得满意的动态特性。典型的离散域重复控制系统结构见图6.1，图中为对象，是控制器，是周期信号的周期。假设是周期为的离散周期性偏心信号，且满足：
(6.1)
图6.1 离散重复控制系统
将式(6.1)的两侧进行变换，得到
(6.2)
如果是的谐波，它变为
(6.3)
相同地，将上式进一步变换为
(6.4)
因为在时是的因子，上式可得到
(6.5)
下面将得到，如果具有周期为及其谐波的离散周期信号满足式(6.2)和式(6.5)，则基于重复控制系统的内模将使稳态误差趋近于零。
图6.1的偏差可以表述为
(6.6)
式中：是闭环的灵敏度函数，并满足
(6.7)
如果找到一个控制器使闭环稳定，则可以描速为：
(6.8)
式中：是稳定的传递函数。
由式(6.6)和式(6.8)，偏差可以写为
(6.9)
如果参考输入和偏差是周期为N的基波信号或谐波信号，则
(6.10)
(6.11)
从而稳态偏差可以由式(6.9)、式(6.10)、式(6.11)得到
(6.12)
显然，基于重复控制的内模将使周期信号的稳态误差趋向于零。因此，重复控制的主要任务是寻找使闭环稳定的控制器。当系统存在不确定时，设计控制器不是一件容易的事情。
单周期(基波)扰动的鲁棒数字重复控制系统
本节提出具有嵌入结构的单周期(基波)扰动的鲁棒数字重复控制(SPRRC)结构及设计框架[98～100]，引入虚拟不确定替代大的延迟，其中为周期信号的数字周期，为被控对象总的滞后数字周期。这样补偿器的阶次将降低，以便在轧机厚度控制系统中得到应用。其次，给出系统的鲁棒稳定的充分条件，并对该条件进行分析。
系统结构
具有输入乘积不确定单周期(基波)扰动的鲁棒数字重复控制结构见图6.2。图中，是理想对象，是非建模态的加权函数。假设非建模态是稳定的，且通过恰当选择，使的范数小于或等于1，即
且。 (6.13)
实际对象为
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