图5.2 重复控制的内模信号发生器
图5.1是重复控制系统的基本结构，图中是周期性的参考信号或周期性的扰动信号，它的周期是已知的或固定的。重复控制有两个基本特点，首先，重复控制利用内模原理，重复控制器包含在反馈闭环之内，如图5.1中的Memory loop部分；其次，重复控制属于前馈控制，采用的是半开环(正反馈)的迭代学习控制方式，通过对激励信号(或扰动信号)的不断记忆和学习，实现完全跟踪(或抑制)外部信号，因此它又是一个信号发生器。图5.2是重复控制的基本结构图，为周期参考信号或周期扰动输入。重复控制器通过延迟环节(其延迟时间等于外部信号的周期)正反馈实现信号发生器的功能，它产生频率为的周期信号，式中：为整数，为外部周期信号的频率。既使在稳态时()，利用正反馈，仍能产生周期为的输出信号。这样周期信号的离散频谱，在时达到频谱峰值。图5.2传递函数为：
(5.1)
当频率为时，的分母的幅值为零，使该传递函数的增益达到无穷大。当然这正是重复控制所期望的：在扰动信号的基波和谐波处正反馈环的增益达到无穷大。但是，这种增益会使主环不稳定。为了保证系统稳定，重复控制环节中引入滤波器，系统结构见图5.3。因为引入的滤波器是严格真的，闭环系统是滞后
图5.3 引入滤波器的重复控制系统
型的，因而系统容易稳定。另一方面，由于引入滤波器来移动重复控制器的极点，所以可以预想到，引入的滤波器从严格意义上说并不是作为重复控制器而发挥其作用的，虽然稳定了闭环系统，也带来稳态误差。相反，在不引入滤波器的严格意义上的重复控制系统，只有控制对象不存在直达项时才能稳定化。这就产生了跟踪性能和稳定性之间的折中处理。希望使用这样的滤波器，它使得跟踪重要的低频成分时滤波器尽量接近于1，相反尽量抑制在剪切频率以上的那些不需要的高频成分。这样，在低频上的稳态误差非常小，并且容易满足稳定性要求。然而，由于在物理实现上并不存在低频等于1而又完全截至高频的那种理想的滤波器，因而总会出现低频部分的极点偏离理想的情况。定义，是m输入p输出的控制对象，是p输入m输出的补偿器，是标量低通滤波器，而
(5.2)
表示重复控制器。为了弄清图5.3系统的稳定性，得下述稳定性条件：
定理5.1 图5.3所示的重复控制系统中，如果下述两个条件成立，这个系统是指数渐进稳定的。
⑴ 是稳定的有理函数矩阵， 和 之间没有零极点对消；
⑵ 对于，有。
条件⑴与没有重复控制环节稳定性等价。条件⑵说明了减小 (5.3)
即增大可增大，构成跟踪性能好的系统。实际上，由于在满足
(5.4)
的频域内，尽管使 也不会丧失稳定性，因而希望在低频内进行这种设计。这里的和分别表示矩阵的最大奇异值和最小奇异值，特别是单输入单输出的情况下，
(5.5)
称为灵敏度函数矩阵，在通常控制系统中，与参数变化的灵敏度特性和扰动抑制特性密切相关，在低频时使变小。越接近1，即接近1的范围越广，稳态偏差就越小，因而需这样选择。
通过以上分析，重复控制系统的设计方法如下所述。
⑴ 在决定补偿器时，要使在跟踪范围上小于1，即满足
(5.6)
对于单输入单输出的情况，则是决定补偿器，使
(5.7)
⑵ 在决定时，要在波德图上绘出，并使位于其下方，即满足
(5.8)
式中：
(5.9)
如选 ，只要在和不相交的范围内使选择得尽量小即可。
总的来说，重复控制系统的各种特性一般都比时控制系统(周期性输入或扰动时)好，重复控制系统可以认为是一般控制系统的偏差端加进一个周期前的信息，此时，一般控制系统特性越好，得到重复控制系统的特性也越好。一般地，扩大跟踪范围与保证鲁棒稳定性存在着折中关系，所以必须在设计上考虑两个方面。如果扩大跟踪范围(改善灵敏度特性)，则在一般控制系统中会恶化鲁棒稳定性。如果扩大的频率范围， 和 接近，稳定裕量将变小。
上面的设计步骤是先决定，然后再在保证稳定性的基础上确定，。与此相反，也可以考虑先决定，然后再确定 的方法。这种设计方法的步骤为：
⑴ 决定 ，使得在跟踪范围 上满足式(5.9)；
⑵ 决定，使其满足定理5.1的两个条件。
下面就如果选择了，研究满足稳定条件的是否存在。假定控制对象为真的且稳定的有理函数矩阵，的右互质分解和左互质分解分别为
(5.10)
而与此对应的Bezout方程式为
(5.11)
式中：
， (5.12)
它的解为，这是可知，所有满足定理5.1条件⑴的可以描述为：
(5.13)
或
(5.14)
式中：是自由参数。由此利用式(0)～式(5.14)，有
(5.15)
并且
(5.16)
因此，定理5.1的稳定条件变成
(5.17)
在这里，由于是自由参数，所以定理5.1的条件得到满足的，其存在的必要充分是满足式(5.17)的和。下面就式(5.17)进行讨论。首先考察一下跟踪范围是不是可以任意广，即考虑能否可以使无限地接近于(单位矩阵)，那么在下述两种情况下是可以给出答案的。
⑴ 控制对象是稳定的情形；
⑵ 控制对象是最小相位的情形。
对于第一种情况，对应于的互质分解，Bezout方程式的解为
(5.18)
(5.19)
这时，式(5.17)的条件可以写成
(5.20)
在这里，如果假设，则由于这个条件接近于，因而可知能够使。
对于第二种情况，为最小相位与
(5.21)
成立相等价。这时可知，存在着 维矩阵 ，它在满足
(5.22)
的闭右半复平面上是解析的(不一定是真的)。因此，若，则对于任意，式(5.17)成立。
另外，根据式(5.14)～式(5.19)，由于，意味着，因而为稳定时的结果指出了在一定程度上牺牲快速性可任意地扩大跟踪范围。另一方面。根据式(5.14)，由于假设，意味着，即高增益补偿，因而为最小相位时的结果表明了在一定程度上牺牲鲁棒稳定性可使跟踪范围任意地扩大。
但是，为了满足条件(式(5.20))，不一定需要假设和，而只要增大即可。那么，选择什么样的才能满足式(5.14)呢？而在不稳定且非最小相位的情况下就不能实现吗？从设计观点看，这是很有意义的问题。下面考虑下述两个问题：
⑴ 为了使满足条件式(5.14)的存在，应满足什么样的条件？
⑵ 当给和时，所有满足条件式(5.14)条件的，即所有满足定理5.1的是什么？
这两个问题是最优控制问题的一种，可以通过应用Nevanlinna~Pick插值理论和Nehari定理来获得问题的解。为简单起见，下面在下述假设的情况下给出问题的解。
假设
⑴ 的极点和零点均是稳定的，而且
(5.23)
⑵ (5.24)
⑶ 在虚轴上没有极点。
现在假设的内外分解为
(5.25)
的补内外分解为
(5.26)
即当时，，而当时，。更进一步，注意到
(5.27)
以及的余因子也是内的，则条件5.14变成：，则
(5.28)
式中：
(5.29)
若满足式(5.28)条件的存在，则，满足式(5.14)条件的存在。在这里且在上解析的函数。然而，这样得到的虽然是稳定的却不是真的。不过，通过利用充分小的正实数和充分大的正实数，并设，则可知是一个满足条件式(5.14)的上的矩阵。因此，满足条件式(5.14)的与满足条件式(5.15)的，其存在条件是等价的。这一点可以用Nevanlinna~Pick插值理论来证实。归纳以上分析，可得稳定化补偿器存在的条件。
定理 5.2 使定理5.1的两个条件得到满足的补偿器，其存在的充分必要条件是存在满足条件5.28的。
特别地，若的根()均是单一的，则这个条件与
(正定) (5.30)
等价，式中：
(5.31)
(5.32)
这个定理意味着，为满足定理5.1的稳定条件，必须对 附加约束。然而，由于是约束对象的不稳定零点，因而当约束对象为最小相位时不对附加约束。
对于图5.2，当时，传递函数在基波和一系列谐波的幅频特性增益无穷大，这和式(5.1)一致；谐波频率两侧有很小频带的增益较大，而在相邻谐波频率之间较宽的频率范围只能得到一定的附加增益。因此重复控制器对扰动信号的基波及其谐波两侧较窄的频带信号有较强的抑制，而对较宽频率范围非基波和谐波的频率信号的扰动的抑制能力则不强。如果增加一个扰动周期的乘积偏差因子，则扰动周期为，此时传递函数为：
(5.32)
当时，有：
(5.33)
当k＝1，时，上式传递函数的幅值的随变化的特性绘于图5.4中时的曲线(为后面鲁棒控制器情况)。可以看到，当时，增益从无穷大下降到10。当谐波频率较高时，情况更差，如10次谐波(当＝10时)，增益下降到1.1。
图5.4 变化对重复控制器增益的影响
周期不确定的重复控制器的结构及参数确定
鉴于偏心信号中可能有多种频率信号存在的情况，图5.5给出了周期不确定
图5.5 鲁棒重复控制器的结构
重复控制器的结构。这种结构基本思想是根据插值原理，获得两值之间的中间值。图中为加权项，利用加权项来模拟两个整数倍频率之间的频率信号的动态过程。重复控制器传函为：
(5.34)
式中：H(s)为开环传递函数
(5.35)
我们希望在谐波处的幅值为无穷大，此时，，即
(5.36)
特别地，当N＝1时，，这和基本重复控制器一致，此时的重复结构可称为标准结构。为了增强重复控制系统对于变化的周期的鲁棒性，需满足下式的条件：
(5.37)
因为
(5.38)
所以，当时，有：
(5.39)
所以对于，有：
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