本章小结
本章分析了轧辊偏心的成因，给出了采用改进的快速傅立叶变换(MMFFT)获取偏心信号模型的算法；确定了轧辊偏心的检测方案；给出了冷轧过程的基本方程和厚度控制模型。
冷轧SISO板厚控制过程中轧辊偏心的重复控制
重复控制自问世以来，人们相继提出一些分析和设计方法，如Hara的状态空间分析法、Srinivasan 和Shaw的频域分析法等。本章用频域分析方法，首先提出一种单周期轧辊偏心重复控制补偿的板带厚度控制系统方案，并对其收敛性能进行了分析，之后将其推广到双轧辊和多轧辊偏心补偿的厚度控制系统。分析中，将用到表征系统频域特性的几个函数，如灵敏度函数、补灵敏度函数及重构谱(Regeneration Spectrum-RS)。模型参数的变化对系统性能的影响经常可以用灵敏度函数来表示，一个好的鲁棒控制器会使系统响应对对象模型参数变化不敏感，这样就要求灵敏度函数的幅值很小，更确切地说，在实际参数变化的频域内，使得灵敏度函数的幅值很小。重构谱与系统鲁棒性有关，RS越小，则系统的鲁棒稳定性越好，系统收敛速度越快，因此，重复系统的收敛速度也是系统鲁棒稳定性的一个标志。
板厚反馈控制必须注意的问题之一是厚度检测滞后的问题(因厚度传感器距辊缝有一段距离)，另外就是轧辊偏心重复控制补偿时系统动态过程的稳定问题及超调量的限制问题。本章没有考虑厚度和张力的耦合情况。
单轧辊偏心扰动重复控制系统
厚度控制系统结构及组成
图3.1 SISO轧辊偏心重复控制补偿厚度控制系统
图3.1为厚度控制系统，图中为轧辊偏心扰动信号，虚线为重复控制补偿部分，偏心扰动的周期为。根据内模原理，在稳定的闭环系统内设置一个可以产生与参考输入同周期的内部模型，从而使系统实现对外部周期参考信号的渐近跟踪，图中含正反馈部分即为偏心扰动信号的内模。和前馈部分分别为重复控制的滤波器和补偿器。为控制器，为被控对象。图中采用厚度反馈控制，如果忽略张力和厚度的耦合关系，轧机辊缝调节由轧机的压下装置完成，并假定其为液压压下装置，它可以一阶惯性环节表示，其频带可达20Hz
(3.1)
这里取，。
⑴ 被控对象[70,71]
厚度控制对象(包括厚度动态模型、厚度执行结构和厚度检测)可以用一个一阶系统模拟，考虑到厚度延迟，则控制对象传函可以用如下函数描述：
(3.2)
式中：为延迟时间，。
⑵ Smith滞后预估补偿[72]
由于厚度检测存在滞后，为保证系统稳定，同时为了闭环控制系统在较宽的频域内获得较快的动态响应，采用了Smith预估补偿器对滞后进行补偿。补偿后的系统控制器可以采用工程上常用的设计。由系统工作点可以推出Smith补偿器的、和。参数变化引起的过程的不确定度的上确界可以通过轧制力公式估计出来。由式(3.2) 知。当材料特性和咬入摩擦等变化时，过程增益会发生变化；对象时间常数取决于执行机构的动作情况和工作点；滞后时间可由速度测量装置得到准确值。如果没有速度测量仪，可以用前滑公式进行估算(但这会带来一定的误差)。设计Smith预估器时要充分考虑这些不确定性以确保系统鲁棒稳定和鲁棒性能。下面利用轧制力公式，对、的不确定度进行估计，下标“”代表工作点：
(3.3)
而的不确定性和轧件屈服抗力及咬入摩擦有关，得到
(3.4)
根据表3.1、表3.2所示某可逆轧机的设备参数及轧制规程，可以计算得到表3.3所示的偏微分系数。上式的偏导数可由轧制力公式微分求得：
，
对于10％变化的和，有：
设轧机刚度系数变化10％，则有：
在下，有
基于给定轧制速度，并假设轧制规程下的前滑变化为7％，厚度传感器距离轧机出口为900mm，轧机出口速度为5.0m/s，则可得的变化范围为：
假设对象的变化为20％，工作点时＝0.05，则有
通过试验可测得对象的不确定幅相范围的Nyquist带，并由Nyquist带计算对象乘积不确定限为，有如下关系：
(3.5)
(3.6)
一般来说，低频时对象不确定性随频率变化较小，在高频时，对象不确定度超过100％。
表3.1 设备参数
工作辊长度L(mm) 2032
工作辊直径(mm) 430
支承辊直径(mm) 1350
轧机纵向刚度(T/mm) 470
开卷机轧机间的距离(mm) 3000
轧机卷取机间的距离(mm) 3000
开卷机卷径(mm) 50
卷取机卷径(mm) 50
厚度传感器辊缝间的距离(mm) 900
表3.2 轧制规程
轧机退火厚度(mm) 2
轧机入口厚度(mm) 1
轧机出口厚度(mm) 0.5
轧件宽度(mm) 150
后张应力kg/mm2 2.1
前张应力kg/mm2 2.8
平均卷取直径(mm) 120
平均开卷直径(mm) 120
轧机出口速度(m/s) 5
轧件Young系数(kg/cm2) 7000
轧辊Young系数(kg/cm2) 21000
轧件屈服计算
轧件屈服强度系数k(kg/cm2) 2450
轧件屈服强度系数n 0.2
表3.3 轧制过程工作点参数
轧制力(kg) 590000
(kg/mm) 5.272e5
(kg/mm) －8.09e5
(kg/kg/mm2) －1.671e3
(kg/kg/mm2) －9.42e2
M(kg.m) 8600
(kg.m/mm) 5.186e3
(kg.m/mm) －6.52e3
( kg.m/kg/mm2) 1.012e2
( kg.m/kg/mm2) －1.14e2
F 0.0689
(1/mm) 0.02
(1/mm) －0.107
(1/kg/mm2) －4.4e－3
(1/kg/mm2) 4.458e－3
⑶ 控制器的设计
如从快速、消除静差方面考虑采用PI控制器时，控制器传函为：
(3.7)
令
， (3.8)
的选择主要是为了消除对象极点，的选择是从系统鲁棒设计考虑，为系数。
图3.1中，在不考虑重复控制环节时，灵敏度函数为
(3.9)
补灵敏度函数为
(3.10)
为达到鲁棒设计要求，必须满足：
① 对于阶跃输入，实现零稳态误差；
② 灵敏度函数的峰值小于2 。
第一个条件因采用PI控制器比较容易满足。考虑到对象波动最不利的情况，系统必须满足如下充要条件：
(3.11)
对于本文给出轧机轧制规程，时可以满足条件。
⑷ 重复控制环节的组成
重复控制器中，在时间延迟之前引入一个低通滤波器，以改善闭环系统的稳定性。但与此同时，低通滤波器的加入降低了系统的跟踪性能，这是由于参考信号中较高次谐波的影响。对于这一不利因素，我们在低通滤波器的输出端增加一个补偿器，取为不考虑重复控制时系统闭环传函的倒数。因在前向通道中含有时间延迟部件，所以重复控制器在第一周期内没有输出信号，而对稳态过程中的被控变量的跟踪精度问题的解决并没有使工作的第一周期的响应得到改善，通过将误差信号直接加到或通过一个比例系数加到过程的输入端而加以改进。从系统稳定性和鲁棒性两个方面折衷考虑，选择为低通滤波器(如)并具有较好的频带特性，以实现在较宽频带内系统稳定。因为不考虑重复控制时系统闭环传函的倒数，即
(3.12)
式中：为开环传函。可以推得
(3.13)
重构谱的幅值为：
(3.14)
如果小于单位1，则系统对于任何周期性扰动渐进稳定[56]； 如果大于单位1，系统只能对某些周期性扰动稳持稳定。因此，确保始终在单位1以下是保证系统稳定性重要条件。 由式(3.14)可以看出，选择合适的，可以有效降低。因为系统闭环极点在复平面上和函数几乎一致，如果重复控制器的延迟时间比没有加入重复控制器时的主导时间常数大，则利用重构谱可以得到闭环系统的极点，从而对系统相对稳定性作出判断，即利用重构谱可以估计系统动态过程的衰减情况。
控制系统过渡过程分析
由图3.1可以得到
(3.15)
为没有重复控制器时的系统闭环传函
(3.16)
⑴ 系统阶跃响应分析
如果
(3.17)
可把式(3.15)的分母根据等比级数展开，则有：
(3.18)
如果、b(s)和都是稳定的，那么在右半平面是解析的。由于，对于所有，由最大模原理，式(3.17)的不等式是成立的。
偏差e的时域函数为：
(3.19)
可以看出系统过渡过程取决于、、和的零极点，假设延迟时间足够大，满足，为、、离虚轴最近的极点，那么系统偏差分量、、等会在内达到稳定。可以看到，第一个周期的动态响应和重复控制器无关。第二个周期为、的叠加，第三个周期为、、的叠加。之后项的稳态值为零，这是因为只要正确选择的参数，就能使为零。如果中包含积分项，则、的稳态值也会为零。
为了估计过渡过程偏差值的大小，根据线性系统输入输出关系，有：
(3.20)
因为假设在内达到稳定状态，所以计算的峰值时，输入可以用持续时间为、幅值和阶跃输入相等的脉冲代替来计算。当然，还可以用宽度等于达到峰值的脉冲计算。脉冲时间越短，上式集就越紧。但峰值时间很难估计。
上式表明，对于确定的，第二个周期系统响应的峰值和有关。为了在稳定性和动态性能指标间取得平衡，一般为低通滤波器，所以的无穷范数为单位1。选择b使也接近1，又因为具有低通特性，所以b的无穷范数越大，第二个周期的峰值也越大。
考虑到模型的不确定性，假设的乘积非结构不确定性为，则可以推导出如下不等式：
(3.21)
根据上式，为保证系统鲁棒稳定，在频率较高时，处于频带之外的系统不确定性影响会很显著，的幅值应很小。
因过渡过程在第二个周期峰值最大，之后一个周期一个周期地连续衰减，从式(3.19)知，对于第二个周期之后(i>2)的，有
(3.22)
相应地，在时域内，当有如下关系：
(3.23)
上式虽不能保证第i个周期的峰值一定小于i~1的峰值，但可看出过渡过程是衰减的，其衰减由重构谱的峰值决定，这可以从重构谱的峰值决定系统靠近虚轴闭环极点的位置得到证明。第二个周期后的的周期偏差分量的峰值有如下关系：
(3.24)
系统稳定时要求，而可能不小于1，所以上式仅用来表示连续两个周期的峰值关系。
在一般学习控制系统中，对象的初始状态必须是一个周期或循环的开始的状态，而重复控制则不受该限制，对象可以在任何情况下运行，这就保证了系统可以连续运行。
⑵ 周期输入响应
假设为周期为的周期输入，式(3.19)仍然成立。如果，则系统响应的第一个周期和重复控制器无关。为求得的2范数，用一单周期脉冲代替，此时有。和阶跃输入类似，对于确定的，系统响应在第二个周期的峰值最大。由式(3.22)可以看出，系统偏差呈递减趋势。系统第i个周期的总偏差是的叠加，并且系统的过渡过程的衰减仍由重构谱的峰值大小决定。
⑶ 重复控制系统的零极点估计
系统闭环系统的传递函数为：
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