(3.59)
从上式可以得到：
(3.60)
为了得到更准确的的范围，把式3.57进一步展开：
(3.61)
假设，且较大使得系统主导极点的，此时上式可以简化为：
(3.62)
从中得到：
(3.63)
虽然上式进行了一定的假设和近似后得到，但使估计系统闭环极点主导极点简化，对控制器的设计保证较好的系统过渡过程很有用处。
多轧辊偏心重复控制系统
多轧辊偏心重复控制系统的结构及仿真
图3.6的系统可以推广到多轧辊偏心多重复控制器抑制的情形，如图3.9所示。
图3.9多周期轧辊偏心重复控制补偿厚度控制系统
和双周期情况类似，并行重复控制器间需要连接起来，以保证系统的渐进稳定。如偏心时，取，
PID控制器的参数为时，系统的仿真波形见图3.10。
图3.10 三个重复控制补偿器相连接时出口厚度波形
系统稳定性分析
对于三种偏心重复控制补偿的厚度控制系统，任何时间滞后的渐近稳定的条件可以从系统闭环特征方程推得，系统闭环特征方程为：
(3.64)
假设有n个轧辊偏心，将上式简化为：
(3.65)
(3.66)
(3.67)
为了对于所有时间延迟系统都能保持渐近稳定，应有如下关系：
(3.68)
和的选择要求和双轧辊偏心一样，以保证式(3.68)满足条件，保持系统稳定。
系统灵敏度函数为：
(3.69)
灵敏度函数可以进一步写成单个重复控制器的乘积形式：
(3.70)
采用类似双轧辊偏心的方法，可以得到闭环主导极点的实部的情况：
(3.71)
本章小结
本章主要讨论板带厚度控制过程中应用重复控制理论进行偏心扰动补偿问题。因系统结构采用测厚仪测厚的反馈AGC控制方案，所以被控对象是一个滞后对象，本章采用了鲁棒Smith预估器处理滞后问题。对于重复控制，首先讨论了单轧辊偏心扰动的重复控制抑制问题，提出了一种具有补偿器的重复控制器的设计结构，给出了重复控制环节以及PID控制器的设计方法，同时给出了将重复控制和鲁棒PID设计结合在一起的混合设计方法。理论分析了系统动态稳定性、系统品质、鲁棒性以及重复控制对轧辊偏心扰动抑制能力(用灵敏度函数和重构谱)，系统仿真结果也证明重复控制器对偏心干扰的抑制能力；其次，提出了一种双周期辊偏心扰动并行重复控制补偿结构，并对系统的动态稳定性进行了理论分析，同时说明重复控制并行结构不能采用重复控制器的纯并联连接方式，否则系统不能保证对于对象任何时间的滞后都渐进稳定，理论分析也证明了这一点。系统仿真结果证明这种设计方案的有效性；最后拓展到多周期偏心扰动重复控制补偿的厚控系统，理论分析了系统的动态稳定性、系统品质和鲁棒性，给出了保证系统渐近稳定的简单方法。同时对同时存在三种轧辊偏心时的重复控制补偿厚控系统进行了仿真，理论分析和系统仿真结果证明所提出的重复控制系统的有效性。
从本章分析研究中可以看出，采用重复控制进行偏心补偿，系统结构简单，控制效果好。偏心扰动的初始状态，如初相角一直是偏心补偿控制的难点，而重复控制进行偏心补偿对初相角没有要求，只需知道偏心信号的周期，从而简化了偏心信号的检测和辨识，同时大大降低了控制难度。
MIMO厚度、张力控制系统的轧辊偏心重复控制
上一章讨论了单输入单输出SISO厚度控制时采用重复控制进行偏心补偿的问题，没有考虑厚度、张力等参量之间的耦合关系。实际上冷轧机是一个非线性、多变量、强耦合的被控对象，因此，忽略控制量之间耦合，不会得到满意的控制效果。轧机既要控制厚度也要控制速度，以得到需要的生产量和合适的张力[73～75]。轧辊偏心所造成的周期性扰动不仅影响轧机厚度，也影响轧机上下游轧件的张力。而张力变化使轧机出口厚度波动，在严重情况下，会出现轧件断带或抖动现象。本章重点研究厚度、张力多输入多输出(MIMO)控制过程中利用重复控制进行偏心扰动补偿的问题。本章只讨论单机架的情况，但可以推广到多机架。
厚度和张力控制系统结构和对象模型
图4.1 厚度和张力控制系统结构图
图4.1是厚度和张力控制系统的原理框图[76～78]。对于单机架可逆轧机，图中系统被控变量包括轧机出口厚度、开卷机张力、卷取机张力和轧机出口速度；控制变量分别是轧机辊缝、开卷机速度、卷取机速度及轧机速度。因此图中4行4列(4x4)矩阵、、、分别代表轧制过程传递函数矩阵、控制对象静态补偿矩阵、解耦矩阵、闭环控制器矩阵及检测机构的传递函数矩阵，其中是对角矩阵。
过程控制模型
在本章中，为了使不同条件下(如不同轧机和不同轧制规程)的轧制性能可以进行比较，参量采用标称值表示，参量的变化由变化量占该参量的成分大小，即所占百分比来表示。假设参量标称值为，变化量所占的百分比为x，则该参量大小为。本章采用这种非量纲表示方式。
系统在工作点附近工作时，采用非线性的线性化处理方法对模型进行处理。假设系统厚度、前张力、后张力、前滑、轧制力和力矩的非量纲变化量分为，于是有
(4.1)
(4.2)
(4.3)
假设辊缝的扰动为，则厚度扰动公式为：
(4.4)
式中： ，分为轧机横向刚度系数、额定出口厚度和额定轧制力。
由式(4.1)和(4.4)得到：
(4.5)
根据轧机入口和出口流量相等有：
(4.6)
额定工作点处有
式中：分别为入、出口速度非量纲变化量；为轧制规程给定的入、出口厚度；为轧制规程给出入、出口速度。
由前滑公式有：
(4.7)
式中：为轧机额定线速度；为非量纲前滑变化量；为额定前滑。
对上式加以整理，并忽略高阶项得：
(4.8)
传动速度的扰动和速度参考输入及负载转矩有关，为了叙述方便，给开卷机、轧机和卷取机按0、1、2顺序排号。轧机传动速度扰动方程为：
(4.9)
式中传递函数可由电机传动特性得到。
开卷机的速度方程为：
(4.10)
上式中开卷机的负载扰动等于卷取机的后张力扰动。
卷取机的速度方程为：
(4.11)
式中：为开卷机传递函数，为卷取机传递函数。
对于后张力扰动，有：
(4.12)
式中：
(4.13)
式中：分别为开卷机轧机的距离和轧件的杨氏模量。
对于前张力，有：
(4.14)
式中：
(4.15)
式中：为轧机卷取机之间的距离。从而得：
(4.16)
(4.17)
对上式两边进行拉普拉斯变换并整理得：
(4.18)
(4.19)
将上式两侧进行拉普拉斯变换并整理得：
(4.20)
将式(4.5)、式(4.16)、式(4.18)、式(4.20)写成矩阵形式：
(4.21)
式中：
， ，
式中：为执行机构液压压下系统的传递函数，
，，
，
，
，
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