摘要
本文针对变压器铁心柱截面优化设计，建立数学模型并用matlab函数constr编程以及使用LINGO编程求解。
最优铁心柱截面设计方案指的是在达到使用标准的情况下，让铁心柱横截面
的有效截面面积最大，从而提高产品的使用性能，提高产品的竞争力。
问题一中，铁心柱外接圆直径为650Mm，根据截面级数的选择表，可以确定其级数的范围。根据制造工艺要求的第一级厚度最小26和最后一级宽度要求最小为20，各级之间宽度依次减少为约束，以有效截面积最大为目标，建立起含多个整数变量的非线性整数规划模型——模型一，优化求解以确定最优的多级硅钢片阶梯形组成方案。
利用MATLAB软件规划求解得到最优的多级阶梯形硅钢片组成方案为：
铁心柱有效截面积320240，铁心利用率96.50%，级数为13，
各级的宽度和厚度为：
（640，114）（620，82）（595，66）（570，51）（535，57）（500，46）（460，44）（415，41）（370，34）（315，34）（260，27）（190，26）（110，19）
对于问题二和问题三，我们将第一问的模型进行拓展和延伸。
第二问要求线圈内筒和铁心柱外接圆直径的公差。以有效截面积利用率最大为目标，以变压器设计结构设计要求为约束，我们再次建立了一个非线性整数规划模型。
在考虑添加油道的问题中，需要确定油道位置，并且分割的各个面积要求基本相等。我们首先确定油道的位置，然后在分割出来的各个小块里，分别去进行多级阶梯形的最优化设计。各个分块里实现了最优化，整个设计就实现了最优化。
该过程中，油道和各个分块之间会产生间隙，针对此问题，我们将油道的位置向圆心靠近调整，然后新产生的间隙，用下一个分块的第一级硅钢片进行补充。
由于铁心柱叠片系数是一个常数，在模型求解的过程中，可以忽略其影响。
在建模的过程中，我们运用了MATLAB和LINGO软件进行求解。
关键词:非线整数性规划，铁心利用率，分布填充
问题重述
电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效果的同时降低变压器的成本。
现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。
电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图1所示。截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：毫米）。因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米。
铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关。设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗。显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。但这样制造也工艺复杂，一般情况下铁心柱的级数可参照表1选取。
表1 铁心柱截面级数的选择
铁心柱直径mm 级数
80-195 5-7
200-265 8-10
270-390 11
400-740 12-14
760以上 >15
问题一：当铁心柱外接圆直径为650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。
问题二：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。
问题三：铜导线在电流流过时发热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。为了改善铁心内部的散热，铁心柱直径为380毫米以上时须设置冷却油道。简单地说，就是在某些相邻阶梯形之间留下6毫米厚的水平空隙（如图2所示），空隙里充满油，变压器工作时油上下循环带走铁心里的热量。具体油道数可按表2选取。油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。
分别针对问题一和问题二的情况，增加油道要求再给出设计，并指出油道的位置。
表2 冷却油道数的选择
铁心柱直径mm 半圆中6mm油道个数
380-410 0
420-500 1
510-690 2
700-840 3